Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

Questão 3) Determine, em cada item, se a série é convergente ou divergente, determinando também qual é o modo de convergência. Especifique os testes utilizados.

a)

∑ n = 0 ∞ e 3 n n + 1 !

Passo 1

Repara que temos uma exponencial e em baixo temos um fatorial. Essa duas coisas juntas pedem o teste da razão...

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Onde o a n são os termos da sequência...

a n = e 3 n n + 1 !

Bora calcular então esse limite!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, podemos falar que...

a n + 1 a n = e 3 n + 1 n + 2 ! e 3 n n + 1 ! =

Realizando a divisão...

e 3 n + 1 n + 2 ! ⋅ n + 1 ! e 3 n = e 3 n + 3 n + 2 n + 1 ! ⋅ n + 1 ! e 3 n =

e 3 n + 2 ⋅ e 3 n e 3 n = e 3 n + 2

Então no limite do teste ficamos...

lim n → ∞ ⁡ e 3 n + 2 =

Como o cara que está dentro do módulo já é positivo...

lim n → ∞ ⁡ e 3 n + 2

Quando n vai ao infinito esse cara vai a 0 , logo, pelo teste da razão...

lim n → ∞ ⁡ e 3 n + 2 = 0 < 1

Logo, podemos afirmar que a série converge.

Passo 3

Ahhh! E se você perceber, a série

∑ n = 0 ∞ e 3 n n + 1 !

Já é formada por termos positivos, afinal a exponencial é positiva para qualquer n e o denominador também é!

Então não faz diferença se colocarmos ou não o módulo...

∑ n = 0 ∞ e 3 n n + 1 ! = ∑ n = 0 ∞ e 3 n n + 1 !

Como a série sem módulo converge, a com módulo também, então dizemos ela converge absolutamente.

Resposta

Converge absolutamente pelo teste da razão.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas