Verifique se as séries convergem ou divergem.

e )   ∑ n = 1 4 n n 2 n !

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado pede para que determinemos a convergência (ou divergência) da série dada. Em nosso caso temos a seguinte série

∑ n = 1 4 n n 2 n !

Mas como fazemos isso? Cada caso é um caso e requer uma técnica diferente! Quando temos séries envolvendo fatoriais, costuma ser interessante aplicar o teste da razão. Lembra qual teste é esse? É aquele que diz

l i m n → ∞ | a n + 1 a n | = L

em que temos a n como o coeficiente em

∑ n = 1 ∞ a n

Note que o teste pede que examinemos o valor de L , se temos que L < 1 a série é absolutamente convergente, se L > 1 ou L = ∞ , a série é divergente, se o limite for L = 1 , aí não podemos dizer nada e precisamos tentar outra coisa! Se tudo der certo, não vai dar 1 . Bora lá!

Passo 2

Em nossa série podemos identificar que

a n = 4 n n 2 n !

Se escrevermos então o coeficiente a n + 1 , temos que

a n + 1 = 4 n + 1 ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) !

usando estas duas expressões, podemos escrever o nosso limite como

l i m n → ∞ | 4 n + 1 ( n + 1 ) 2 / ( n + 1 ) ! 4 n n 2 / n ! | = ?

Beleza! Agora vamos simplificar um pouco as expressões! E ver o que isso vai dar! Vem comigo!

Passo 3

Primeiro, lembre que quando temos uma fração no denominador e outra no denominador, podemos reescrever a divisão multiplicando a fração do numerador, pelo inverso da fração do denominador, ou seja

4 n + 1 ( n + 1 ) 2 / ( n + 1 ) ! 4 n n 2 / n ! = 4 n + 1 ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) ! n ! 4 n n 2

Aqui, nós podemos fazer duas simplificações! Primeiro, usando propriedades do fatorial, podemos dizer que ( n + 1 ) ! = ( n + 1 ) n ! . De forma, que temos

4 n + 1 ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) ! n ! 4 n n 2 = 4 n + 1 ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) n ! n ! 4 n n 2 = 4 n + 1 ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) 1 4 n n 2

em que simplifiquei n ! no numerador e denominador! Essa é a vantagem de usar o teste da razão quando temos fatoriais! Você desaparece com eles! Agora, ainda podemos lembrar que 4 n + 1 = 4 n 4 1 , para escrever

4 n + 1 ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) 1 4 n n 2 = 4 n 4 1 ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) 1 4 n n 2 = 4 ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) 1 n 2

novamente, simplifiquei no numerador e denominador, mas agora o termo 4 n . Por último, temos que ( n + 1 ) 2 no numerador simplifica com ( n + 1 ) e obtemos

4 ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) 1 n 2 = 4 ( n + 1 ) n 2

Ficou bem mais simples não é? Vamos voltar para o nosso limite!

Passo 4

Usando a simplificação que obtivemos na questão anterior, temos que

l i m n → ∞ | 4 n + 1 ( n + 1 ) 2 / ( n + 1 ) ! 4 n n 2 / n ! | = l i m n → ∞ | 4 ( n + 1 ) n 2 |

Podemos distribuir a fração dentro do módulo como

l i m n → ∞ | 4 ( n + 1 ) n 2 | = l i m n → ∞ | 4 n n 2 + 4 n 2 | = l i m n → ∞ | 4 n + 4 n 2 |

Agora, o limite pode ser distribuído como

l i m n → ∞ | 4 n + 4 n 2 | = | l i m n → ∞ 4 n + l i m n → ∞ 4 n 2 |

Como este é um limite de n → ∞ , temos uma constante dividida por um número infinitamente grande, ou seja, o resultado final é muito pequeno! Sendo assim, nosso limite é

| l i m n → ∞ 4 n + l i m n → ∞ 4 n 2 | = | 0 + 0 | = 0

Como temos que L = 0 < 1 , então a nossa série é absolutamente convergente! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

A série é absolutamente convergente!

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]