(Capítulo 11.9 – Exercício 3) Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

f x = 1 1 + x

Passo 1

Oiii pessoal, tudo certo? Vamos resolver mais uma questão juntos?

Temos uma função f ( x ) e aí queremos escrever essa função no formato de série de potências, assim

∑ c n . x - a n

Ou seja, queremos mudar a forma que olhamos pra essa função

E aí, precisamos encontrar o intervalo de convergência dessa série de potências

Lembrando aqui: o intervalo de convergência vai incluir os valores de x em que a série não vai explodir lá pro , sacou?

Passo 2

Passo 3

Temos a função f ( x )

f x = 1 1 + x

Vamos começar reescrevendo a função assim:

f x = 1 1 - ( - x )

Opa opa opa, peraí!

Temos uma expressão no estilo

1 1 - r ≡ 1 1 - ( - x )

Se puxarmos na memória, essa é a expressão da soma de uma série geométrica de razão r :

∑ n = 0 ∞ r n = 1 1 - r ,   r < 1

Passo 4

Show, se temos que a nossa função pode ser escrita assim:

f x = 1 1 - ( - x )

Então isso é o resultado de uma soma geométrica com razão - x :

∑ n = 0 ∞ ( - x ) n = 1 1 - ( - x ) ,   - x < 1

Como a razão da série geométrica é - x , temos que ter:

- x < 1

x < 1

- 1 < x < 1

Ou seja, o intervalo de convergência é - 1 ,   1 .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - x n

( - 1 ,   1 )

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]