Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Decida sobre a convergência da série abaixo:

∑ n = 0 ∞ n ln ⁡ n 2 n

Passo 1

Pra decidir sobre a convergência dessa série, vamos aplicar o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

E analisar o valor de L . Então, fazendo a n = n ln ⁡ n 2 n , teremos:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 1   2 n + 1 2 n n ln ⁡ n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 1 2 n ln ⁡ n

Passo 2

Agora pela regra de L’Hôpital:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 1 2 n ln ⁡ n = 1 2

Como o valor do limite L   é tal que: - 1 < L < 1 , então a série converge!

Resposta

A série converge!

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37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞