Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo?

∑ n = 1 ∞ n 1 + n ²

Passo 1

O teste da razão diz que:

l i m n → ∞ a n + 1 a n = L

Onde a n é um termo genérico da série e a n + 1 é o que vem depois dele.

E se: 0 ≤ L ≤ 1   e n t ã o   ∑ a n c o n v e r g e

L > 1   o u   o   l i m n → ∞ a n + 1 a n = ∞   e n t ã o     ∑ a n d i v e r g e

L = 1   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   d i z e r   n a d a

Passo 2

Achar a n + 1 e a n :

a n = n 1 + n ²

a n + 1 = n + 1 1 + ( n + 1 ) ²

Passo 3

Achar o limite de l i m n → ∞ a n + 1 a n :

l i m n → ∞ a n + 1 a n = l i m n → ∞ n + 1 1 + ( n + 1 ) ²   ∙ 1 + n ² n

l i m n → ∞ n + 1 n ∙ 1 + n 2 1 + n + 1 2 = l i m n → ∞ n + 1 n ∙ 1 + n 2 1 + n + 1 2 =

= l i m n → ∞ n 1 + 1 n n ∙ 1 + n 2 1 + n + 1 2 =

= l i m n → ∞ 1 + 1 n ∙ 1 + n 2 1 + n + 1 2 =

Agora, vamos cuidar dessa fração:

= l i m n → ∞ 1 + 1 n ∙ 1 + n 2 n 2 + 2 n + 2 =

= l i m n → ∞ 1 + 1 n ∙ n 2 1 n 2 + 1 n 2 1 + 2 n + 2 n 2 =

= l i m n → ∞ 1 + 1 n ∙ 1 n 2 + 1 1 + 2 n + 2 n 2 =

Como n → ∞ , todos os termos dividos por n ou n 2 vão para 0 , certo? Então:

= l i m n → ∞ 1 ∙ 1 1 =

= 1 ∙ 1 = 1

O teste é inconclusivo.

Resposta

O teste é inconclusivo.

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