Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Estudar a convergência ou divergência de cada uma das séries a seguir. Em caso de convergência, classificar a mesma em condicional ou absoluta.

∑ n = 1 ∞ n 3 + 1 n !      

Passo 1

Dando uma olhada a gente já percebe de cara que o termo geral tende a zero então não podemos usar esse argumento e falar que ela já diverge de cara. Vamos aplicar o Teste da Razão e descobrir o que encontramos.

Passo 2

Calculando o a n e a n + 1 .

a n = n 3 + 1 n !

a n + 1 = ( n + 1 ) 3 + 1 ( n + 1 ) !

Passo 3

Calculando o limite

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 3 + 1 n + 1 ! n 3 + 1 n !   = lim n → ∞ ⁡ n + 1 3 + 1 n + 1 !   n ! n 3 + 1    

Cortando os termos comuns dos dois fatoriais e colocando o n em evidencia no termo n + 1 3 .

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n 3 1 + 1 n 3 + 1 n 3 + 1 1 n + 1    

Passo 4

Colocando n 3 em evidencia nas raízes.

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n 3 1 + 1 n 3 + 1 n 3 n 3 1 + 1 n 3 1 n + 1    

Cortando o termo n 3 .

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 3 + 1 n 3 1 + 1 n 3 1 n + 1  

Passo 5

Nós já sabemos que quando n tender a infinito os termos com n no denominador tenderão a zero.

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 1 1 1 n + 1  

Sendo assim

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1   = 0

Resposta

A série converge absolutamente pelo teste da razão

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