Diga se as séries são convergentes ou divergentes:

d )   ∑ n = 1 ∞ - 2 n n 5 n !

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa série parece complicada, mas vou ajudar você aqui!

Para dizer se uma série diverge ou não, precisamos aplicar os testes! Mas qual escolher?

A cara da nossa série é

∑ n = 1 ∞ - 2 n n 5 n !

E podemos manipular um pouco aquele - 2 n = 2 n - 1 n para termos uma série alternada:

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n n 5 n !

E quando temos uma série alternada (esse - 1 n é que nos diz isso) que envolve fatorial (aquele n ! no denominador) a dica é aplicar o teste da razão para séries alternadas

Esse teste nos diz o seguinte:

Seja uma série do tipo

∑ n = 1 ∞ - 1 n a n

Fazendo o limite

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Podemos ter três resultados diferentes:

s e   ρ < 1 : a   s é r i e   c o n v e r g e   a b s o l u t a m e n t e s e   ρ > 1   o u   ∞ : a   s é r i e   d i v e r g e s e   ρ = 1 : t e s t e   i n c o n c l u s i v o

Então a ideia aqui é o seguinte:

  • identificar quem é a n na nossa série
  • calcular a n + 1
  • determinar a razão a n + 1 a n
  • calcular o limite dessa razão e comparar o resultado desse limite com as conclusões do teste =)

é isso! Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa série é

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n n 5 n !

E retirando a parte que alterna o sinal, - 1 n , o a n aqui é o que sobra:

a n = 2 n n 5 n !

Beleza? Agora para calcular o a n + 1 é só trocar n por n + 1 nessa expressão:

a n + 1 = 2 n + 1 n + 1 5 n + 1 ! = 2.2 n n + 1 5 n + 1 !

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos calcular a razão a n + 1 a n :

a n + 1 a n = 2.2 n n + 1 5 n + 1 ! 2 n n 5 n ! = 2.2 n n + 1 5 n + 1 !   . n ! 2 n n 5

Para simplificar o fatorial precisamos decompor o maior n + 1 ! até chegar no menor n ! :

n + 1 ! = n + 1 . n !

E assim simplificar os fatoriais. Podemos simplificar também o termo 2 n em cima e embaixo:

a n + 1 a n = 2 n + 1 5 n + 1 n 5 = 2 n + 1 4 n 5

Beleza?

Passo 4

Agora podemos passar para o limite!

Vamos calcular o limite dessa razão (e aqui vale todas as técnicas para cálculo de limites que você aprendeu lá no cálculo 1, ok?):

ρ = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 4 n 5

Quando n → ∞ , em cima o termo predominante é 2 n 4 , por ter maior expoente. Já embaixo é o n 5 , único termo. Então no infinito temos o seguinte

ρ = lim n → ∞ ⁡ 2 n 4 n 5 = lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

ρ = 0

Passo 5

Lembra das conclusões para o teste da razão para séries alternadas? Vamos relembrar:

Como encontramos no passo anterior ρ = 0 < 1 , esse valor se encaixa na primeira conclusão.

Portando, nossa série converge absolutamente.

Ufa! Terminamos!

Bora pra próxima?

Resposta

c o n v e r g e   a b s o l u t a m e n t e

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]