Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ 2 n 2 n 2 n !

Passo 1

Ahhh esses carinhas com expoente e fatorial, sempre dão vontade de aplicar o critério da razão!

a n + 1 a n = 2 ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) ! . 2 n ! 2 n 2 n = 2 n + 2 2 n + 2 2 n + 2 ! . 2 n ! 2 n 2 n = 2 n + 2 2 n + 2 2 n + 2 2 n + 1 . 1 2 n 2 n

Vamos continuar com essa conta:

a n + 1 a n = 2 n + 2 2 n + 2 2 n + 2 2 n + 1 . 1 2 n 2 n = 2 n + 2 2 n + 1 2 n 2 n 1 2 n + 1

Mas

2 n + 2 2 n + 1 = 2 n 1 + 1 n 2 n + 1 = ( 2 n ) 2 n + 1 1 + 1 n 2 n + 1

Substituindo:

a n + 1 a n = ( 2 n ) 2 n + 1 1 + 1 n 2 n + 1 2 n 2 n 1 ( 2 n + 1 )

a n + 1 a n = 1 + 1 n 2 n + 1 2 n 2 n + 1

Passo 2

Bem bem, nos resta resolver essa bagaça!

l i m n → ∞ a n + 1 a n =   l i m n → ∞ 1 + 1 n 2 n + 1 2 n 2 n + 1

Vamos por partes:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 2 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n . lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n . lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 1

Opa, mas pela teoria, já sabemos que:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = e

E que:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 1 = 1

Logo:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 2 n + 1 = e 2

Passo 3

Assim fica:

l i m n → ∞ a n + 1 a n = e 2 . lim n → ∞ ⁡ 2 n 2 n + 1 = e 2 > 1

Logo a série diverge.

Resposta

l i m n → ∞ a n + 1 a n = e 2 > 1

Logo a série diverge.

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