Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

Estude a convergência da série:

∑ n = 1 ∞ n ! 10.13.16 … 3 n + 7

Passo 1

Vamos utilizar o teste da razão para determinar a convergência dessa série. Lembrando que esse teste diz que a série irá convergir se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1 .   Vamos escrever a n e a n + 1 .

a n = n ! 10.13.16 … ( 3 n + 7 )

a n + 1 = ( n + 1 ) ! 13.16 … ( 3 n + 7 ) ( 3 n + 10 )

Repare que a n + 1 tem o denominador começando de 13 , porque para n = 1 teremos:

3 n + 1 + 7 = 3 n + 10 = 13

Show. Repare também que o penúltimo termo do denominador em a n + 1 é 3 n + 7 . Por que?

Porque os termos aumentam de 3 em 3 . Então se o último termo é 3 n + 10 o penúltimo é 3 n + 7 . Sacou?

Já podemos partir pro teste.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando o limite.

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! 13.16 … 3 n + 7 3 n + 1 + 7 . 10.13.16 … ( 3 n + 7 ) n !

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 10 n + 1 3 n + 1 + 7 = 10 lim n → ∞ ⁡ n + 1 3 n + 10

10 lim n → ∞ ⁡ n + 1 3 n + 10 = 10 lim n → ∞ ⁡ n n 1 + 1 n 3 + 10 n = 10 3

Como o nosso limite deu maior do que 1, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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