Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo?

∑ n = 1 ∞ 1 n ³

Passo 1

O teste da razão diz que:

l i m n → ∞ a n + 1 a n = L

Onde a n é um termo genérico da série e a n + 1 é o que vem depois dele.

E se: 0 ≤ L ≤ 1   e n t ã o   ∑ a n c o n v e r g e

L > 1   o u   o   l i m n → ∞ a n + 1 a n = ∞   e n t ã o     ∑ a n d i v e r g e

L = 1   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   d i z e r   n a d a

Passo 2

Achar a n + 1 e a n :

a n = 1 n ³

a n + 1 = 1 ( n + 1 ) ³

Passo 3

Achar o limite de l i m n → ∞ a n + 1 a n :

l i m n → ∞ a n + 1 a n = l i m n → ∞ 1 ( n + 1 ) ³   x   n ³

l i m n → ∞ 1 ( n + 1 ) ³   x   n 3 = l i m n → ∞ n ³ ( n + 1 ) ³

Como temos a mesma potência no numerador e no demoninador, e colocando a variável de maior potência em evidência, o limite dessa função é:

l i m n → ∞ n ³ ( n + 1 ) ³ = 1

O teste é inconclusivo.

Resposta

O teste é inconclusivo.

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que L < r < 1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n n < r quando n ≥ N .]
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1   n 1 4
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ - 1 n   n 4