(Capítulo 11.8 – Exercício 13) Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 2 ∞ - 1 n x n 4 n ln ⁡ n

Passo 1

Oieee, vamos lá pra mais uma questão de séries??

Temos a série

∑ n = 2 ∞ - 1 n x n 4 n ln ⁡ n

E aí, precisamos encontrar o raio de convergência dela, e o intervalo de convergência também.

Só pra lembrar: o intervalo de convergência vai incluir os valores de x em que a série não vai explodir lá pro , beleza? Já o raio de convergência é a distância do centro da série até os extremos do intervalo de convergência

Agora sim, vamos lá!

Passo 2

Para encontrarmos o raio de convergência, vamos aplicar o queridíssimo Teste da Razão, que diz que dada uma série de potência assim:

∑ c n . x - a n

Vamos calcular esse limite, obtendo o resultado L

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L

E aí o nosso raio de convergência R vai ser

R = 1 L

Fechou?

Passo 3

Sabendo que nossa série de potências é

∑ n = 2 ∞ - 1 n x n 4 n ln ⁡ n

∑ n = 2 ∞ - 1 n 4 n ln ⁡ n x n

, temos que o termo que gera a potência é o x n , enquanto o c n que multiplica ele é:

c n = - 1 n 4 n ln ⁡ n

Então vamos calcular esse limite:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n

Temos c n + 1 = - 1 n + 1 4 n + 1 ln ⁡ ( n + 1 ) , então

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 4 n + 1 ln ⁡ ( n + 1 ) - 1 n 4 n ln ⁡ n

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n . - 1 4 n . 4 . ln ⁡ n + 1 . 4 n l n ⁡ n - 1 n

Cortando os termos comuns em cima e embaixo:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ - ln ⁡ n 4 ln ⁡ n + 1

Quando n → ∞ , o ln ⁡ n é positivo, e o ln ⁡ n + 1 também, então:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 4 ln ⁡ n + 1

Como temos uma indeterminação ∞ ∞ , podemos usar L’Hospital, bora lááá

Passo 4

Derivando em cima e embaixo:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ 1 n 4.1 n + 1

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ 1 n . n + 1 4

Show, derivando em cima e embaixo mais uma vez até sair da indeterminação:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ 1 4

Como o limite da constante é a própria constante:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = 1 4

Então, temos que o raio de convergência R vale

R = 1 L = 1 1 4 = 4

Agora só falta o intervalo de convergência, vamos que vamos!

Passo 5

Uma série de potências tem o formato genérico

∑ n ∞ c n . x - a n

Onde a é o valor em que a série está centrada

No nosso caso, temos

∑ n = 2 ∞ - 1 n x n 4 n ln ⁡ n

Ou seja, x - a n = x n

Então, a = 0 . Logo, a nossa série está centrada em 0

Sabendo que o raio de convergência é R = 4 , então o intervalo deve ser 0 - 4 ,   0 + 4

Então sabemos que o intervalo é ( - 4 ,   4 ) , porém devemos testar a convergência nas extremidades para definir onde o intervalo é aberto e onde é fechado.

Passo 6

Dado o intervalo ( - 4,4 ) , para x = - 4 , temos que

∑ n = 2 ∞ - 1 n ( - 4 ) n 4 n ln ⁡ n

Vamos simplificar essa expressão? Se n for par, teremos

∑ n = 2 ∞ - 1 n ( 4 ) n 4 n ln ⁡ n = ∑ n = 2 ∞ - 1 n 1 ln ⁡ n

Mas se n for ímpar, temos

∑ n = 2 ∞ - 1 n - ( 4 ) n 4 n ln ⁡ n = ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 ln ⁡ n

Então, de uma forma genérica, como o 1 fica alternando entre positivo e negativo, podemos escrever nossa série assim:

∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 n ln ⁡ n

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n

∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n

Ficou bem mais simples né? hahaha

Como ln ⁡ n < n para n > 2 , então 1 ln ⁡ n > 1 n para n > 2 (lembrando que quanto menor o denominador, maior o resultado da fração)

Desta forma, por comparação, temos ∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n > ∑ n = 2 ∞ 1 n (série harmônica divergente). Portanto, a série analisada também é divergente.

Logo, x = - 4 não está incluso no intervalo de convergência

Passo 7

Para x = 4 , temos que

∑ n = 2 ∞ - 1 n 4 n 4 n ln ⁡ n

∑ n = 2 ∞ - 1 n 1 ln ⁡ n

Como temos o elemento ( - 1 ) n , essa série é alternada, pois vai ficar saltando entre valores positivos e negativos

Então, podemos fazer o Teste da Série Alternada para verificar a convergência dessa série. Temos:

b n = 1 ln ⁡ n

b n + 1 = 1 ln ⁡ ( n + 1 )

Como ln ⁡ n + 1 > ln ⁡ n ,   temos que b n + 1 ≤ b n , porque quanto maior o denominador, menor o resultado da divisão, certo? Então, o primeiro quesito do teste da série alternada para convergência já está cumpridooo

Agora vamos verificar o limite de b n com x → ∞ , se der 0, realmente a série converge para x = 4

lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ n = 0

Showw! Então o x = 4 está incluso no intervalo de convergência.

Logo, a série converge para x = 4 e diverge para x = - 4 , o que nos dá esse intervalo de convergência

( - 4,4 ]

E acabaaaamos

Resposta

R = 4   e   I = ( - 4,4 ]

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]