Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

Questão 2) Determine, em cada item, se a série é convergente ou divergente, determinando também qual modo de convergência. Especifique os testes utilizados.

c)

∑ n = 1 ∞ 1 arctan ⁡ n n

Passo 1

Bem, a primeira coisa que temos que fazer em séries de frações assim é averiguar se o termo geral está indo a 0 , pois se não nem precisa de fazer conta, afinal ela divergirá direto:

lim n → ∞ ⁡ 1 arctan ⁡ n n

Como quando n aumente o termo do denominador aumente muito, então o limite vai a:

lim n → ∞ ⁡ 1 arctan ⁡ n n = 0

Ótimo então a série pode ou não convergir. Temos que encontrar o melhor método de averiguar isso.

Veja que temos uma sequência que está sendo elevada a n :

1 arctan ⁡ n n = 1 n arctan ⁡ n n =

1 arctan ⁡ n n

Nesse caso é muito interessante pensarmos em uma prova pelo Teste da raiz:

lim n → ∞ ⁡ 1 arctan ⁡ n n n

Como o termo de dentro é sempre positivo, pois para n > 0 (que é o nosso caso) o arco tangente é sempre positivo. Uma potência de um termo positivo continua sendo positiva.

lim n → ∞ ⁡ 1 arctan ⁡ n n n = lim n → ∞ ⁡ 1 arctan ⁡ n n n =

lim n → ∞ ⁡ 1 arctan ⁡ n

Dependendo do resultado desse limite, de acordo com a teoria temos três respostas diferentes:

1º - Limite maior que 1 série divergente;

2º - Limite menor que 1 série convergente;

3º - Limite igual a 1 , nada podemos falar (ai tem que procurar um outro método).

Então bora calcular esse limite aí!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

lim n → ∞ ⁡ 1 arctan ⁡ n

Como o arco cuja tangente é muito grande é acontece quando nos aproximamos de 90 ° , então...

lim n → ∞ ⁡ 1 arctan ⁡ n = 1 π / 2 =

2 π

Por ser π um número maior que 3 , implica...

lim n → ∞ ⁡ 1 arctan ⁡ n = 2 π < 1

Logo, a série converge!

Passo 3

Além disso, podemos falar mais, como não importa se colocamos módulo ou não nos termos da série, pois como vimos o termo é sempre positivo...

∑ n = 1 ∞ 1 arctan ⁡ n n = ∑ n = 1 ∞ 1 arctan ⁡ n n

Então, dizemos que a série converge absolutamente!

Resposta

Converge absolutamente pelo teste da raiz.

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