(Capítulo 11.9 – Exercício 9) Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

f x = 1 + x 1 - x

Passo 1

E ae!! Vamos maratonar séries de potência?

Temos uma função f ( x ) e aí queremos escrever essa função no formato de série de potências, assim

∑ c n . x - a n

Ou seja, queremos mudar a forma que olhamos pra essa função

E aí, precisamos encontrar o intervalo de convergência dessa série de potências

Lembrando aqui: o intervalo de convergência vai incluir os valores de x em que a série não vai explodir lá pro , sacou?

Passo 2

Temos a função

f x = 1 + x 1 - x

Mas pra gente aplicar alguma técnica, vamos precisar dar uma manipulada nessa expressão e escrever ela de um jeito diferente. Podemos começar separando essa fração na soma de 2 frações:

f x = 1 1 - x + x 1 - x

Temos a soma de 2 termos, cada um deles no estilo

c 1 - d

Ou seja, um valor c dividindo 1 - alguma coisa

Isso parece muito a representação de uma série assim:

a 0 1 - r

Em que a 0 é o primeiro termo da série e r é a razão. Então nós podemos usar a seguinte relação e transformar nossa relação mais uma vez.

∑ n = 0 ∞ a 0 . r n = a 0 . 1 1 - r ,     r < 1

Passo 3

Então, se temos a função

f x = 1 1 - x + x 1 - x

Podemos escrever ela assim:

f x = ∑ n = 0 ∞ 1 . x n + ∑ n = 0 ∞ x . x n ,     x < 1

f x = ∑ n = 0 ∞ x n + x . x n ,     x < 1

f x = ∑ n = 0 ∞ x + 1 . x n ,     x < 1

Pronto, encontramos a representação em séries de potências. Agora só falta determinar o intervalo de convergência.

Passo 4

Como a razão de ambas as séries geométricas iniciais é x , temos que ter:

x < 1

- 1 < x < 1

Ou seja, o intervalo de convergência é - 1 ,   1 .

E fimmm

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ x + 1 . x n

( - 1 ,   1 )

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]