1 . Considere a série

∑ n = 1 ∞ a n m + b n 2 + c d n p n

em que a , b , c e d são números reais fixados (constantes) e m e p são expoentes fixos que podem ser iguais.

i . Encontre condições sobre as constantes a , b , c , d , m e p para que a série seja convergente.

i i . Exiba uma escolha de a , b , c , d , m e p para a qual a série diverge.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão!

Para mexermos com essa série o melhor caminho é usar o teste da raiz que para uma série convergente tem a seguinte condição:

lim n → ∞ ⁡ a n n = L < 1

Vamos aplicar isso a nossa série e ver que condições temos que ter para as constantes para a série ser convergente.

Passo 2

Temos o seguinte então:

lim n → ∞ ⁡ a n m + b n 2 + c d n p n n

= lim n → ∞ ⁡ a n m + b n 2 + c d n p

Agora vamos isolar n p encima e embaixo, temos:

lim n → ∞ ⁡ n p a n m n p + b n 2 n p + c n p d n p

= lim n → ∞ ⁡ a n m n p + b n 2 n p + c n p d

Podemos separar esse limite da seguinte forma:

lim n → ∞ ⁡ a d n m n p + lim n → ∞ ⁡ b d n 2 n p + lim n → ∞ ⁡ c n p

= a d lim n → ∞ ⁡ n m n p + b d lim n → ∞ ⁡ n 2 n p + c lim n → ∞ ⁡ 1 n p

Passo 3

Agora para que cada um daqueles limites exista e cai para zero logo menor que 1 fazendo com que a série convirja, o termo do denominador tem que crescer muito mais rápido que o do numerador para isso acontecer, temos que:

p > 2

p > m

E por consequência m ≤ 2 .

Agora as constantes a ,   b ,   c e d não interferem em nada no resultado do limite, logo eles podem assumir qualquer valor.

Passo 4

O item ( i i ) quer que a gente de valores para as constantes para fazer a série divergir.

As constantes a ,   b ,   c e d podem ter qualquer valor que não vão interferir em nada na divergência da série.

Agora para p e m basta escolher um m maior que p , podemos fazer a seguinte escolha:

p = 1

m = 3

Com essas escolhas a série diverge.

Com isso temos uma questão prontinha em mãos.

Resposta

i . Explicado acima.

i i . Explicado acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]