Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

UFRJ, Cálculo 4, P1-2019.1, Questão 1.2b

Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo?

∑ n = 1 ∞ n 2 n

Passo 1

O teste da razão diz que:

l i m n → ∞ a n + 1 a n = L

Onde a n é um termo genérico da série e a n + 1 é o que vem depois dele.

E se: 0 ≤   L < 1 ,   e n t ã o   ∑ a n c o n v e r g e

L > 1   o u   l i m n → ∞ a n + 1 a n = ∞ ,   e n t ã o     ∑ a n d i v e r g e

L = 1 ,   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   d i z e r   n a d a

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Achar a n + 1 e a n :

a n = n 2 n

a n + 1 = n + 1 2 n + 1

Passo 3

Achar o limite de l i m n → ∞ a n + 1 a n :

l i m n → ∞ a n + 1 a n = l i m n → ∞ n + 1 2 n + 1 ×   2 n n

l i m n → ∞ n + 1 n   ×   2 n 2 n + 1   = l i m n → ∞ n + 1 n   × 1 2

l i m n → ∞ n + 1 2 n = l i m n → ∞ n 2 n + 1 2 n

l i m n → ∞ n 2 n + 1 2 n = 1 2 + 0 = 1 2

O teste é conclusivo.

Resposta

O teste é conclusivo e converge.

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