Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 2 ∞ - 1 n n ! 3 3 n !

Passo 1

Bem galera, temos aí uma típica série alternada, primeira coisa a se fazer é verificar se ela é absolutamente convergente, ou seja, queremos ver se a série em módulo:

∑ n = 2 ∞ - 1 n n ! 3 3 n ! = ∑ n = 2 ∞ n ! 3 3 n !

Converge.

O Critério da razão me parece uma ótima ideia, já que tem alguns fatoriais ali.

Então temos

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! 3 3 n + 1 ! ∙ 3 n ! n ! 3 = lim n → ∞ ⁡ n + 1 3 n ! 3 3 n + 3 ! ∙ 3 n ! n ! 3 =

lim n → ∞ ⁡ n + 1 3 n ! 3 3 n + 3 . 3 n + 2 3 n + 1 3 n ! ∙ 3 n ! n ! 3 = lim n → ∞ ⁡ n + 1 3 3 n + 3 . 3 n + 2 3 n + 1

Passo 2

Vamos resolver esse limite:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 3 3 n + 3 . 3 n + 2 3 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 9 n 2 + 15 n + 6 3 n + 1 =

lim n → ∞ ⁡ n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 27 n 3 + 9 n 2 + 45 n 2 + 15 n + 18 n + 6 = lim n → ∞ ⁡ n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 27 n 3 + 54 n 2 + 33 n + 6

Temos dois polinômios, vamos colocar o maior grau em evidência

lim n → ∞ ⁡ n 3 1 + 3 n + 3 n 2 + 1 n 3 n 3 27 + 54 n + 33 n 2 + 6 n 3 lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 n + 3 n 2 + 1 n 3 27 + 54 n + 33 n 2 + 6 n 3 = 1 27

Como esse limite deu menor que 1 essa série converge absolutamente

Resposta

Converge absolutamente

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