Use o Teste da Raiz para determinar a convergência ou divergência da série dada:

∑ n = 2 ∞ n l n ( n ) n / 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 3, nosso objetivo é determinar a convergência ou divergência da série dada usando o teste da raiz

∑ n = 2 ∞ n l n ( n ) n / 2

Lembram do teste?

dada uma série �� a n , se

l i m n → ∞ | a n | n = L

Se L   <   1 , então é absolutamente convergente. Se L   >   1 , então diverge. Nada podemos afirmar se L   =   1 .

Passo 2

Bem, então temos que

a n = n l n ( n ) n / 2

Logo,

l i m n → ∞ n l n ( n ) n / 2 n

= l i m n → ∞ 1 l n ( n ) n / 2 n n

= l i m n → ∞ l n ( n ) - n / 2 l i m n → ∞ n n

= l i m n → ∞ l n ( n ) - n / 2

l i m n → ∞ e - n / 2 l o g ( l n ( n ) )

= 0

Logo, como

l i m n → ∞ | a n | n = 0 < 1

Podemos garantir que a nossa série é absolutamente convergente pelo teste da raiz

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]