Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

Questão 2: Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

c )   ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 3 n

Passo 1

Nesse caso, podemos pensar no teste do limite para essa série, já que o temos os termos da série sendo uma composição de potências (quando tem potências, ou termos envolvendo fatoriais, é sempre bom pensar no teste do limite). Esse teste é feito assim:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Como a n = - 1 n n 2 3 n ... Então temos que verificar o limite...

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 n + 1 2 3 n + 1 - 1 n n 2 3 n =

Como - 1 n + 1 - 1 n = - 1 e estamos dentro de um módulo (que desconsidera o sinal) então...

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 3 ⋅ 2 3 n n 2 3 n =

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 3 n =

2 / 3 pode sair do limite, já que é um termo escalar multiplicativo:

2 3 lim n → ∞ ⁡ n + 1 n

Agora, será antes de voltarmos para o teste mesmo, que nos pede...

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Vamos calcular o limite de n + 1 / n separado, ok?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Veja que para resolver esse limite, como temos termos com n apenas no interior do módulo, o limite pode passar para dentro...

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 n ⁡

Veja que n + 1 / n não é uma função contínua, pois n varia no domínio dos números inteiros. Se considerarmos a função contínua em x , podemos utilizar as técnicas de cálculo de limite de funções:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n = lim x → ∞ ⁡ x + 1 x =

Como temos um caso de ∞ / ∞ , podemos usar L’Hopital...

lim x → ∞ ⁡ x + 1 ' x ' = lim x → ∞ ⁡ 1 1 = 1 =

1

Logo, concluímos que o limite para quando n vai para o infinito é:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n = 1

Passo 3

Mas não é isso que queremos, não é verdade? O que queremos é ver se isso aqui acontece:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Como vimos no passo 1 ,no nosso caso, esse termo no lado esquerdo é o mesmo que...

2 3 lim n → ∞ ⁡ n + 1 n < 1       →

2 3 ⋅ 1 < 1

Como essa igualdade é satisfeita, então pelo Teste da Razão, a série é convergente!

Passo 4

Mas será que ela é também absolutamente convergente? Para ver isso, basta lembrar que uma série só é absolutamente convergente se...

∑ n = 1 ∞ a n

... Se essa série converge!

Como no nosso caso a n = - 1 n n 2 3 n , então, para saber se a série é absolutamente convergente, precisamos analisar...

∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 3 n

Como o módulo de - 1 n é 1 e o módulo de n 2 3 n é ele mesmo já que esse termo é positivo ( n varia de 1 ao infinito positivo)...

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 3 n = ∑ n = 1 ∞ n 2 3 n

Passo 5

Para testar essa série, também podemos aplicar o Teste da Razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1   →

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 3 n + 1 n 2 3 n < 1 →

2 3 lim n → ∞ ⁡ n + 1 n < 1 →

Como esse limite é 1

2 3 < 1     ( o   q u e   é   v e r d a d e i r o )

Então a série é também absolutamente convergente!

Resposta

C o n v e r d e   a b s o l u t a m e n t e

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