Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Verifique a convergência ou divergência da sequencia e das séries numéricas abaixo:

(3.3)

∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2

Passo 1

Vamos usar o Teste da Raiz para determinar o comportamento da série fornecida. Esse teste diz que sendo ∑ a n uma série, assumimos que a n n = a n 1 n → L   c o m   n → ∞ . Se esse limite L existir:

s e   0 ≤ L < 1   e n t ã o   ∑ a n   c o n v e r g e s e   L > 1   o u lim ⁡ a n 1 n = ∞ e n t ã o   ∑ a n   d i v e r g e s e   L = 1 ,   e n t ã o   n ã o   s e   c o n c l u i   n a d a

Aplicando, assim, o Teste da Raiz à série dada, obtemos o limite fundamental:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n 2 n =   lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = e > 1

Portanto, a série em causa é divergente.

Resposta

Série diverge

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37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞