2 – Seja a n = n + 1 n 3 n

b) Determine se ∑ a n é convergente.

Repita a análise para b n = n + 1 2 n n + 2 , isto é, estude a convergência de ∑ b n .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos que determinar a convergência de duas séries. A primeira é a n = n + 1 n 3 n e a segunda é b n = n + 1 2 n n + 2 .

Pra isso, temos diversos testes que podemos fazer, mas o primeiro de todos, sempre deve ser o teste da divergência.

Lembra como se faz? 😁

O teste da divergência consiste em calcular o limite de a n e de b n para n tendendo ao infinito. Se o resultado for um valor diferente de 0 , significa que a série diverge. Mas se for igual a 0 , não podemos afirmar nada.

Caso esse último seja o resultado de algum deles, vamos aplicar o teste da razão.

Já esse teste consiste em calcular o limite de a n + 1 a n e/ou b n + 1 b n para n tendendo ao infinito, assim se o resultado for um valor menor que 1 a serie converge, se for maior que 1 a serie diverge e se for igual a 1 não podemos afirmar nada.

Bora começar? 😉

Passo 2

Vamos começar pela série a n .

Aplicando o deste de divergência, temos

lim n → ∞ ⁡ a n

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n 3 n

Se tentássemos substituir n por infinito agora, iriamos chegar em uma indeterminação ∞ / ∞ , então nesses casos, vamos aplicar a regra de L’Hopital.

Essa técnica consiste em derivar o numerador e o denominador, veja só

lim n → ∞ ⁡ d n + 1 d n d n 3 n d n

Na derivada de n + 1 , aplicamos o método de derivação polinomial

d n + 1 d n = n 1 - 1 + 0 = 1

Já na derivada de n 3 n temos o produto entre n e 3 n , então aplicamos a regra do produto.

d n 3 n d n = d n d n · 3 n + n · d 3 n d n

A derivada de n sabemos que é 1 , pelo método de derivação polinomial, mas a derivada de 3 n não é tão comum de ser calculada.

Pela regra do expoente da derivada, a derivada de 3 n é dada por

d 3 n d n = 3 n ln ⁡ 3

Ou seja, repete o derivando e multiplica por l n da base do expoente...

Substituindo na derivada de n 3 n

d n 3 n d n = 1 · 3 n + n · 3 n ln ⁡ 3

Dessa forma, o limite é dado por

lim n → ∞ ⁡ 1 3 n + n 3 n ln ⁡ 3

Agora sim, substituindo n por infinito, vamos chegar em uma fração 1 / ∞ , ou seja, um número muito pequeno sendo dividido por um número muito grande que resulta em um valor tão pequeno que podemos dizer que é 0

lim n → ∞ ⁡ 1 3 n + n 3 n ln ⁡ 3 = 1 ∞ = 0

Então, pelo teste da divergência, não podemos afirmar nada sobre a convergência da série a n .

Entendeu essa parte? 😁

Passo 3

Agora vamos aplicar o teste da razão para a n

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

No numerador, substituímos n por n + 1 em a n

lim n → ∞ ⁡ n + 1 + 1 n + 1 3 n + 1 n + 1 n 3 n

Simplificando e reescrevendo 3 n + 1 como 3 n 3 1 ...

lim n → ∞ ⁡ n + 2 n + 1 3 n 3 n + 1 n 3 n

Como temos 3 n multiplicando os denominadores das duas frações, podemos simplificá-los

lim n → ∞ ⁡ n + 2 n + 1 3 n + 1 n

Calculando os extremos sobre os meios...

lim n → ∞ ⁡ n + 2 n n + 1 3 n + 1

lim n → ∞ ⁡ n 2 + 2 n 3 n 2 + 6 n - 3

Dividindo tudo por n 2

lim n → ∞ ⁡ n 2 n 2 + 2 n n 2 3 n 2 n 2 + 6 n n 2 - 3 n 2

lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n 3 + 6 n - 3 n 2

Dessa forma, substituindo n por , vamos chegar em que 2 n , 6 n e 3 n 2 vão tender a 0 já que um número muito pequeno está sendo dividido por um número muito grande, logo

lim n → ∞ ⁡ 1 + 0 3 + 0 - 0 = lim n → ∞ ⁡ 1 3 = 1 3

Como o resultado foi um número menor que 1 , então chegamos à conclusão de que a n converge!

Legal, não é? 😉

Passo 4

Agora, vamos analisar a série b n .

Segundo os mesmos passos, aplicando o teste da divergência, vamos obter

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n n + 2

lim n → ∞ ⁡ n 2 + 2 n + 1 n 2 + 2 n

Dividindo todos os termos por n 2 , chegamos em

lim n → ∞ ⁡ n 2 n 2 + 2 n n 2 + 1 n 2 n 2 n 2 + 2 n n 2

lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n + 1 n 2 1 + 2 n

Pela mesma ideia do passo anterior, ao substituirmos n por , podemos dizer que 2 n e 1 n 2 são iguais a 0 , ou seja

lim n → ∞ ⁡ 1 + 0 + 0 1 + 0

lim n → ∞ ⁡ 1 = 1

Como o limite resultou em um valor diferente de 0 , então a série b n diverge!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

a n converge pelo teste da razão.

b n diverge pelo teste da divergência.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]