Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ n 2 2 n

Passo 1

E aii galerinhaa, bora resolver essa comigo?

Para determinar se a série ∑ n 2 2 n     converge ou diverge, podemos usar o teste da razão.

O teste da razão é uma técnica comum para verificar a convergência ou a divergência de uma série.

A ideia é comparar o termo geral da série com o termo seguinte e verificar o limite dessa razão conforme n tende ao infinito.

R = a n + 1 a n

Se o limite for menor que 1, a série original converge.

Se o limite for maior ou igual a 1, a série original diverge.

O termo geral da série dada é n 2 2 n . Vamos aplicar o teste da razão:

Considere o termo de ordem n + 1 :

∑ n + 1 2 2 n + 1

Agora, calculamos a razão entre os termos gerais das duas séries:

R   = n + 1 2 2 n + 1 n 2 2 n

Agora, simplificamos essa razão:

R   =   n + 1 2 2 n + 1 *   2 n n 2

Observe que a raiz quadrada de 2 e 2 n se cancelam:

R   = n + 1 2 n

Agora, vamos calcular o limite dessa razão conforme n tende ao infinito.

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n

Passo 2

Para calcular o limite da razão conforme n tende ao infinito, você pode usar a regra do limite para frações.

Essa regra nos diz que, se f x   e   g ( x ) são funções cujos limites quando x tende ao infinito são finitos e diferentes de zero, então o limite da razão f ( x ) / g ( x ) conforme x tende ao infinito é igual ao limite de f ( x ) / g ( x ) .

Neste caso, \ f ( n )   =   n   +   1   e   g ( n )   =   2 n   .

Vamos calcular os limites individuais de f x   e   g ( x ) à medida que n tende ao infinito:

1. Limite de f ( n )

lim n → ∞ ⁡ n + 1 = ∞

2. Limite de g n

lim n → ∞ ⁡ 2 n = ∞

Ambos f x   e   g ( x ) tendem ao infinito à medida que n tende ao infinito.

Agora, podemos aplicar a regra do limite para frações, que nos diz que o limite da razão é o limite da razão dos limites:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 lim n → ∞ ⁡ 2 n

Como ambos os limites individuais são infinitos, podemos usar a regra do limite infinito sobre infinito.

Nesse caso, o resultado será indeterminado, e podemos aplicar a regra de L'Hôpital:

Aplicando a regra de L'Hôpital:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n = lim n → ∞ ⁡ 1 2 = 1 2

Portanto, o limite da razão n + 1 2 n   conforme n tende ao infinito é igual a 1 / 2 .

Passo 3

  • Se o limite for menor que 1, a série original ∑ n 2 2 n     converge.
  • Se o limite for maior ou igual a 1, a série original ∑ n 2 2 n       diverge.

Neste caso, o limite é 1/2, que é menor que 1.

Portanto, podemos concluir que a série ∑ n 2 2 n       converge.

Resposta

Converge.

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