Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes

b )   ∑ n = 1 ∞ n ! n n

Passo 1

Hello pessoal, tudo bem? Essa questão está no início de uma longa lista, vamos resolver esse segundo item? (o restante dela você pode encontrar no nosso site!)

Precisamos decidir se essa série

∑ n = 1 ∞ n ! n n

Converge ou diverge

E qual teste usar? Essa é a pergunta de milhões! Bom, olhando com carinho essa série vemos que temos no seu termo geral uma razão envolvendo fatorial e exponencial

a n = n ! n n

E quando for assim a primeira coisa que você precisa lembrar é do teste da razão!

Mas o que nos diz esse teste?

O teste da razão avalia o comportamento no infinito da razão entre o “próximo termo” e o “termo geral”

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Aqui podemos ter três cenários (e três conclusões diferentes):

  1. Se ρ < 1 : série é convergente
  2. Se ρ = 1 : nada podemos concluir (precisamos de outro teste!)
  3. Se ρ > 1 : série é divergente

Então a ideia é calcular esse ρ e torcer para que não dê a segunda conclusão!

Dica: se o termo geral envolve fatorial e exponencial, esse é o teste mais indicado! #segura essa dica de milhões!

Bora começar?

Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa série é a seguinte

∑ n = 1 ∞ n ! n n

E vamos usar o teste da razão

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Então antes de mais nada, precisamos calcular a razão

a n + 1 a n

Beleza?

Nosso termo geral é

a n = n ! n n

Colocando ( n + 1 ) no lugar de n temos o “próximo termo” a n + 1

a n + 1 = n + 1 ! n + 1 n + 1

E agora calcular a n + 1 a n :

a n + 1 a n = n + 1 ! n + 1 n + 1 n ! n n = n + 1 ! n + 1 n + 1 ⋅ n n n ! = n + 1 n ! n + 1 n . n + 1 ⋅ n n n !

Simplificando temos o seguinte

a n + 1 a n = n n n + 1 n = n n + 1 n

Beleza?

Agora nossa missão é calcular o limite quando n → ∞ ! bora lá?

Passo 3

O teste da razão é

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

E do passo anterior temos que

a n + 1 a n = n n + 1 n

Agora vamos colocar essa expressão no limite!

ρ = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 n = ∞ ∞

Poxa vida, encontramos uma indeterminação!

#ALERTATRUQUESUJO

Você vai puxar lá da memória da cadeira onde você estudou limites e lembrar dos limites fundamentais! Um dos primeiros limites que vemos é a definição do número de Euler e :

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x x = e

E se trocarmos mentalmente n por x no nosso limite temos algo bem parecido, saca só

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 n

Então a ideia aqui é manipular um pouco essa expressão para colocar a resposta em termos do limite fundamental de e !

Então mãos à obra! A expressão que tem no nosso limite é a seguinte

n n + 1 n

E invertendo a base podemos separar a fração que tem dentro em duas partes

n n + 1 n = n + 1 n - n = 1 + 1 n - n

E podemos agora colocar aquele - 1 no expoente para “fora”

1 + 1 n - n = 1 + 1 n n - 1  

Estamos quase lá!

Voltando para nosso limite

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n - 1

E o último truque sujo: podemos passar o limite para dentro daqueles colchetes!

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n - 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n - 1

E agora sim! Temos exatamente a definição de e ! Lembrando que estamos calculando ρ :

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n ⏝ = e - 1 = e - 1 = 1 e

E como e ∼ 2,7 , temos que

ρ < 1

E portanto nosso teste da razão conclui que a série

∑ n = 1 ∞ n ! n n

É convergente!

Ufa! Terminamos! Espero ter ajudado!

Resposta

c o n v e r g e n t e

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]