Para qual conjunto de valores de x , a sequência ( s n ) n   ∈   N cujo enésimo termo é definido por

s n = ∑ k = 1 n 2 n x n , n ≥ 1 .

converge?

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

Nós temos aqui uma sequência cujo n-ésimo termo é definido pela seguinte soma de termos

s n = ∑ k = 1 n 2 n x n ,   n ≥ 1

mas note que a soma é em k , e não tem nenhum k dentro da soma! Isso foi um errinho de digitação da professora, o correto seria

s n = ∑ k = 1 n 2 k x k ,   n ≥ 1

Agora sim podemos resolver a questão! Precisamos achar o conjunto de valores de x para o qual este n-ésimo termo convirja. Ou seja, analisar o intervalo de convergência da série que representa o n-ésimo termo de nossa sequência! Vamos trabalhar utilizando a seguinte série infinita

∑ k = 1 ∞ 2 k x k

já que se obtermos um intervalo para a série infinita convergir, com certeza a série finita também irá convergir! Vem comigo!

Passo 2

Um teste que comumente é bastante útil para determinar raios de convergência é o teste da razão, o teste da razão é tal que

L   =   l i m k → ∞ | a k + 1 a k |

em que as condições de convergência são: para L < 1 a série é absolutamente convergente, para L > 1 , ou L = ∞ a série é divergente, e para L = 1 , o teste é inconclusivo! Temos que o nosso a k é dado por

a k = 2 k x k

e, portanto que

a k + 1 = 2 k + 1 x k + 1

E, o nosso limite toma a forma

L   =   l i m k → ∞ | 2 k + 1 / x k + 1 2 k / x k |

Agora precisamos reescrever isso tudo um pouco! E tentar identificar nosso raio de convergência! Bora lá!

Passo 3

Usando que x k + 1 = x k x 1 , e também temos que 2 k + 1 = 2 k 2 1 , podemos então simplificar um pouco o limite, temos que

  l i m k → ∞ | 2 k + 1 / x k + 1 2 k / x k |   =   l i m k → ∞ | 2 k 2 / x k x 2 k / x k | = l i m k → ∞ | 2 x |

Como temos que o limite afeta apenas k , podemos escrever este limite como

| 2 x | l i m k → ∞ [ 1 ] = | 2 x |

ou seja, o nosso limite resulta em

L = | 2 x |

Vamos lá analisar as nossas condições e terminar a questão!

Passo 4

Para que a série seja convergente é preciso que L < 1 , portanto, temos que

L = | 2 x | < 1

Por simplicidade vamos começar multiplicando ambos os lados da desigualdade pela função | x | , ou seja, temos que

2 < | x |

note que também usei que | 2 | = 2 . Agora, lembre que x pode tomar valores positivos ou negativos, ou seja, a relação acima tem validade para o intervalo em que 2 < x , ou para os intervalos em que - 2 > x . Ou seja, o nosso intervalo é da forma

- 2 < x e 2 < x

ou seja, é a união dos dois intervalos a seguir

I C = ( - ∞ , - 2 ) ∪ ( 2 , ∞ )

cuidado para não confundir e achar que o intervalo vai de - 2 até 2 , note que temos que pegar os valores que são menores que - 2 e maiores 2 , portanto, os valores entre estes dois valores não pertencem ao nosso conjunto! Os extremos infinitos são claramente abertos, mas ainda precisamos verificar os extremos x = - 2 e x = 2 , vamos fazer isso!

Passo 5

Para x = - 2 , temos que

∑ k = 1 ∞ 2 k x k = ∑ k = 1 ∞ 2 k ( - 2 ) k = ∑ k = 1 ∞ ( - 1 ) k

já que podemos simplificar o 2 no numerador com o que está no denominador, note que ambos tem o mesmo expoente. Essa é então uma série alternada que toma sempre os valores - 1 e + 1 . Portanto, pelo teste da série alternada, ela não é decrescente e nem tem limite de a k = 0 . Ou seja, a série é divergente! Agora, para x = 2 , temos que

∑ k = 1 ∞ 2 k x k = ∑ k = 1 ∞ 2 k ( 2 ) k = ∑ k = 1 ∞ ( 1 ) k

que é divergente, pois uma série que soma termos constantes é sempre divergente! Portanto, podemos garantir que o intervalo de convergência é aberto como escrevemos anteriormente

I C = ( - ∞ , - 2 ) ∪ ( 2 , ∞ )

Como este intervalo garante a convergência da série infinita, ele com certeza garante a convergência do n-ésimo termo dado por

s n = ∑ k = 1 n 2 k x k , n ≥ 1 .

A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

I C = ( - ∞ , - 2 ) ∪ ( 2 , ∞ )

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]