Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Quais das séries abaixo são condicionalmente convergentes e quais são absolutamente convergentes (justifique sua resposta):

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 1 + 1 n n 2

Passo 1

Cara, repara que o nosso termo geral é um produto de dois termos. E esses dois termos tem no expoente o n . Isso é uma dica para usarmos o teste da raiz.

Ele diz que se a nossa série tem um termo geral a n . Se fizermos

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ a n 1 n = L

E 0 ≤ L < 1 então a série converge, mas se L > 1 , então a série diverge.

Vamos tentar aplicar isso na nossa série!

Passo 2

Nossa série é

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 1 + 1 n n 2

Então o termo geral dela é

a n = - 1 n - 1 1 + 1 n n 2

Tirando o módulo disso e depois a raiz, esse termo com menos 1 some e o expoente do outro termo também vai mudar

a n 1 n = - 1 n - 1 1 + 1 n n 2 1 n = 1 + 1 n n 2 n = 1 + 1 n n

Aplicando o limite

lim n → ∞ ⁡ a n 1 n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = e

Cara, isso é um limite exponencial fundamental, por isso a gente pode lembrar que ele vale e . E como e > 1 , a gente pode dizer que essa série diverge.

Resposta

Divergente

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37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞