Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

Determine a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo. Justifique.

∑ n = 1 ∞ e - 3 n n + 2 n + 1 n 2

Passo 1

Cara, repara que o nosso termo geral tem no expoente de dois dos termos, o n . Isso é uma dica para usarmos o teste da raiz.

Ele diz que se a nossa série tem um termo geral a n . Se fizermos

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ a n 1 n = L

E 0 ≤ L < 1 então a série converge, mas se L > 1 , então a série diverge.

Vamos tentar aplicar isso na nossa série!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nossa série é

∑ n = 1 ∞ e - 3 n n + 2 n + 1 n 2

Então o termo geral dela é

a n = e - 3 n n + 2 n + 1 n 2

Tirando o módulo disso e depois a raiz:

a n 1 n = e - 3 n n + 2 n + 1 n 2 1 n = e - 3 n n n + 2 n + 1 n 2 n = e - 3 n + 2 n + 1 n

Aplicando o limite

lim n → ∞ ⁡ a n 1 n = lim n → ∞ ⁡ e - 3 n + 2 n + 1 n = e - 3 lim n → ∞ ⁡ n + 2 n + 1 n

Passo 3

Vamos resolver esse limite que ficou. Repara que a gente pode fazer algo assim:

lim n → ∞ ⁡ n n ⋅ 1 + 2 n 1 + 1 n n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n 1 + 1 n n

E o formulário diz para gente que

lim n → ∞ ⁡ 1 + a n n = e a

Aí a gente pode escrever nosso limite assim:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n 1 + 1 n n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n n 1 + 1 n n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n n lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = e 2 e = e 1

Passo 4

Voltando para o teste da raiz:

lim n → ∞ ⁡ a n 1 n = e - 3 lim n → ∞ ⁡ n + 2 n + 1 n = e - 3 e 1 = e - 2

Como e - 2 < 1 , nossa série converge absolutamente.

Resposta

Convergente Absolutamente

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