Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 682, exemplo 6

Teste a convergência da série

∑ n = 1 ∞ 2 n + 3 3 n + 2 n

Passo 1

Como o termo geral da série é uma potência de n , vamos aplicar o Teste da raiz nessa questão. Podemos dizer, então:

| a n | n = | a n | 1 / n = 2 n + 3 3 n + 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora só precisamos tirar o limite dessa expressão:

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 3 3 n + 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n ( 2 + 3 / n ) n ( 3 + 2 / n ) =

= lim n → ∞ ⁡ ( 2 + 3 / n ) ( 3 + 2 / n ) = 2 3

Como encontramos L = 2 / 3 < 1 , sabemos, pelo Teste da raiz, que a série converge absolutamente. Logo, converge.

Resposta

A série converge.

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