Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Determine quais séries abaixo convergem e quais divergem.

∑ n = 1 ∞ 2 n - 1 n

Passo 1

Caaaaara, tem uma expressão mutcho loca elevada a n . Como vamos testar a convergência disso? Primeiro vamos tentar tirar aquele elevado a n , mas não podemos sair tirando as coisas assim ne?

Mas “tirar” esse n é um indicativo para usarmos o teste da raiz aqui.

Então vamos achar o seguinte limite

lim n → ∞ ⁡ a n n

Se ele for menor que 1 , a série converge. Se for maior que 1 , a série diverge. Se for 1 , lascou-se, precisamos usar outro teste.

Passo 2

Vamos para o limite, primeiro vamos reparar que

a n = 2 n - 1 n

Então queremos

lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1 n n

Arrumando isso, vamos ter

lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1 n n = lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1

Repara que aquela raiz sempre é maior que 1 , com n > 0 , então podemos tirar o módulo

lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1 = lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1

Agora, precisamos ver que

2 n = 2 1 n

Nosso limite vai ficar

lim n → ∞ ⁡ 2 1 n - 1 = 2 1 ∞ - 1 = 2 0 - 1 = 1 - 1 = 0

Opa, nosso limite deu menor que 1 , então, pelo teste da raiz, a nossa série converge.

Resposta

Converge

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