Determine se a série abaixo converge absolutamente, ou se converge condicionalmente, ou se diverge:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n + 1 - n

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa série parece ser complicada, mas vou facilitar para você! Vamos lá?

O problema pede para avaliarmos a convergência dessa série aqui:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n + 1 - n

E dizer se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Mas calma aí, você lembra o que cada coisa significa?

Uma série será absolutamente convergente quando o módulo de seu termo geral, ∑ a n , for convergente! Uma série é condicionalmente convergente quando, sob alguma condição, essa série converge.

Calma, aqui vai um exemplo:

Por exemplo, a série harmônica ∑ n = 1 ∞ 1 n : ela sendo positiva, como a gente conhece, diverge. Mas quando ela se torna alternada (multiplicando - 1 n o termo geral, ∑ n = 1 ∞ - 1 n n ), ela é convergente!

Então, mesmo se série divergir quando olhamos apenas para o módulo do seu termo geral, ainda a série alternada pode convergir. Quando é assim, dizemos que a série converge condicionalmente.

Mas, se nos dois casos a série divergir, então a série diverge mesmo.

Certo?

No nosso problema, temos uma série alternada, então o teste perfeito aqui (e que envolve o módulo do termo geral) é o teste da razão para séries alternadas.

Então a ideia aqui é o seguinte:

  • Aplicar o teste da razão para séries alternadas e ver se chegamos a alguma conclusão (diverge ou converge);
  • Caso dê um resultado inconclusivo, aplicar o teste das séries alternadas (caso dê certo, essa série será condicionalmente convergente)
  • E se falhar de novo? Ah, é porque então essa série diverge!

Beleza? Vamos começar?

A série que precisamos analisar é essa aqui:

∑ n = 2 ∞ - 1 n n + 1 - n

E como já comentei com você ali no passo anterior, vamos aplicar o teste da razão para séries alternadas.

Então para aplicar esse teste precisamos:

  • identificar quem é a n na nossa série
  • calcular a n + 1
  • determinar a razão a n + 1 a n
  • calcular o limite dessa razão e comparar o resultado desse limite com as conclusões do teste =)

No nosso caso a n = n + 1 - n , então precisamos calcular a n + 1 . Para fazer isso, basta trocar n por ( n + 1 ) no termo geral:

a n + 1 = n + 2 - n + 1

Agora vamos calcular a razão a n + 1 / a n :

a n + 1 a n = n + 2 - n + 1 ( n + 1 - n )  

Parece feio, mas é assim mesmo! Como queremos calcular o limite dessa expressão quando n → ∞ , então já vou me antecipar aqui e multiplicar e divididr pelo conjugado do denominador, para eliminar aquela raiz ali embaixo #truquesujo

a n + 1 a n = n + 2 - n + 1 ( n + 1 - n ) × ( n + 1 + n ) ( n + 1 + n ) = ( n + 2 ) ( n + 1 ) + n ( n + 2 ) - n + 1 - n ( n + 1 ) n + 1 2 - n 2

Garanto pra você que melhora daqui a pouco!

a n + 1 a n = n + 2 n + 1 + n n + 2 - n + 1 - n n + 1 n + 1 - n

a n + 1 a n = ( n + 2 ) ( n + 1 ) + n ( n + 2 ) - n + 1 - n ( n + 1 )

Tranquilo até aqui? Agora precisamos calcular o limite dessa razão ( a n + 1 a n )!

Passo 2

O próximo passo é calcular o limite dessa razão quando n → ∞ , usando todas as técnicas de limites que você aprendeu lá no cálculo 1:

lim   n → ∞ ⁡ ( n + 2 ) ( n + 1 ) + n ( n + 2 ) - n + 1 - n ( n + 1 ) = ∞

Xi! Deu ruim!

Calma! Sabemos agora que a série não converge absolutamente, mas será que condicionalmente ela converge?

Passo 3

Como o resultado foi divergente para a parte absoluta da série, vamos precisar aplicar outro teste para verificar seu comportamento vamos aplicar o teste das séries alternadas, já que se trata de uma série alternada!

Se o resultado for convergente já sabe: essa série só converge se for alternada, caso contrário ela diverge!

Nossa série querida:

∑ n = 2 ∞ - 1 n n + 1 - n

Esse teste tem duas condições para atestar que uma série converge, saca só:

Seja ∑ n = 1 ∞ - 1 n a n uma série alternada, ela será convergente se:

  1. lim n → ∞ ⁡ a n = 0
  2. a 1 > a 2 > a 3 > …

Vamos ver se essa série satisfaz as duas condições? Bora lá!

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 - n = ∞ - ∞

Xi, deu ruim! Mas já aprendemos o truque sujo de multiplicar e dividir pelo conjugado, para levantar essa indeterminação:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 - n × ( n + 1 + n ) ( n + 1 + n ) = lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 - n 2 n + 1 + n =

Simplificando o numerador temos o seguinte:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 - n 2 n + 1 + n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 - n n + 1 + n = lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 + n = 1 ∞ = 0

Ok! A primeira condição foi satisfeita! Vamos verificar a segunda?

a 1 = 2 - 1 = 0,41

a 2 = 3 - 2 = 0,31

a 3 = 4 - 3 = 0,26

a 4 = 5 - 4 = 0,23

a 5 = 6 - 5 = 0,21

Podemos notar que os termos estão diminuindo, que temos um padrão de decrescimento, então

a n > a n + 1

E a segunda condição também é satisfeita!

Sendo assim, a série alternada converge, embora não possamos concluir isso do módulo dessa série.

Isso significa que nossa série converge condicionalmente!

Ufa! Terminamos!

Bora pra próxima?

Resposta

c o n v e r g e   c o n d i c i o n a l m e n t e

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]