Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Estude a natureza das séries abaixo:

∑ n = 1 ∞ n 4 n !

Passo 1

Bem, olhando para essa série, temos uma potência no numerador e um fatorial no denominador, a questão está implorando para a gente usar o Teste da Razão, não é? Olha só como vai ficar bem simples, temos:

a n = n 4 n !

a n + 1 = n + 1 4 n + 1 !

Aplicando o teste:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 4 n + 1 ! × n ! n 4 =

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 4 n ! n + 1 n ! n 4 =

= lim n → ∞ ⁡ n 4 1 + 1 / n 4 n + 1 n 4 =

= lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 / n 4 n + 1 = 0 < 1

Logo, pelo Teste da razão, a série é convergente.

Resposta

A série converge.

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37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞