Sabendo que ∑ k = 0 ∞ c k 2 k é convergente, pode-se concluir a convergência de quais séries

  1. ∑ k = 0 ∞ c k - 4 k
  2. ∑ k = 0 ∞ c k - 2 k
  3. ∑ k = 0 ∞ 4 k
  4. ∑ k = 0 ∞ c k
  5. ∑ k = 0 ∞ c k 2 - k

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa série aqui

∑ k = 0 ∞ c k 2 k

E disse uma informação muito importante sobre ela: essa série converge

Em seguida deu várias afirmativas, e perguntou quais delas são verdadeiras. Mas como assim concluir sobre a convergência de outras séries com base nessa aí?

Isso mesmo, estamos falando em uma série convergente e, aplicando o teste da razão, podemos determinar o qual o raio de convergência! E assim tirar informações muito poderosas sobre outras séries! Tudo que estiver dentro do raio de convergência: converge! O que estiver fora, diverge! E o que estiver no limite, precisamos avaliar!

Então a ideia é achar o raio de convergência da série dada e depois avaliar item a item para ver o que conseguimos concluir!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A série dada foi essa aqui

∑ k = 0 ∞ c k 2 k

Aplicando o teste da razão para convergência absoluta podemos encontrar o raio de convergência

lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k = lim k → ∞ ⁡ c k + 1 c k . 2 k + 1 2 k < 1

Como essa série converge, sabemos que esse limite é < 1 . Tranquilo? Simplificando 2 k e comparando com um raio de convergência | x | temos

lim k → ∞ ⁡ c k + 1 c k . 2 = lim k → ∞ ⁡ c k + 1 c k . x < 1

Vemos que x = 2 nesse caso! Então sabemos que se x estiver nesse intervalo, a série é convergente!

Beleza?

Agora vamos analisar alternativa por alternativa e ver se conseguimos alguma conclusão!

Passo 3

Olhando as três primeiras afirmativas temos o seguinte

Note que a afirmativa I está fora do nosso limite de convergência! Então não podemos dizer que ali em x = - 4 nossa série converge! O mesmo acontece com a segunda afirmativa!

Ela nos diz que x = - 2 , que está no limite do nosso intervalo! Como não sabemos a cara de c k , não podemos afirmar que converge! E a terceira afirmativa? Ela nem leva em consideração c k ! É uma série divergente pois

lim k → ∞ ⁡ 4 k = ∞

Logo é uma série divergente! Então eliminamos essas três primeiras!

Passo 4

Agora vamos analisar as duas últimas alternativas!

A alternativa I V pode ser escrita assim

∑ c k 1 k

E com isso temos que x = 1 ! E esse valor está dentro do nosso raio de convergência e, portanto, essa série converge

E a V ? Também! Olha o truque sujo aqui:

∑ c k 2 - k = ∑ c k 1 2 k

Temos que x = 1 / 2 e está também dentro do raio de convergência, logo, essa série também é convergente!

Sendo assim, apenas as duas últimas alternativas estão corretas quanto a convergência, apenas as séries I V e V convergem!

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

I V ,   ( V )

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]