Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da série abaixo.

∑ m = 1 ∞ - 1 m m 2 2 m

Passo 1

Vamos considerar a série absoluta correspondente

∑ m = 1 ∞ m 2 2 m

para podermos analisar com mais clareza. Ok, seria bem interessante acabar com o esse 2 m aí, né? Podemos fazer isso por meio do teste da razão, já que ele causa a divisão de um termo m + 1 por um termo m . Vamos aplicá-lo então:

lim m → ∞ ⁡ a m + 1 a m = l i m m → ∞ m + 1 2 2 m + 1 m 2 2 m = 1 2 l i m m → ∞ m + 1 2 m 2  

Show. Agora, temos:

= 1 2 l i m m → ∞ m + 1 2 m 2 = 1 2 l i m m → ∞ m + 1 m 2 = 1 2 l i m m → ∞ 1 + 1 m 2 = 1 2 ⋅ 1 = 1 2 < 1

Como o limite deu menor que 1 , então temos que a série vai convergir. Como testamos a série absoluta, segue que

∑ m = 1 ∞ - 1 m m 2 2 m

converge absolutamente. Como converge absolutamente, então também irá convergir condicionalmente. 😊

Resposta

∑ m = 1 ∞ - 1 m m 2 2 m

converge absolutamente.

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