Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ n 2 2 n

Passo 1

Desconfiamos que o teste da divergência seja inconclusivo e não conseguimos ver claramente uma série parecida com ela para usar testes de comparação, vamos tentar o Teste da razão.

Como já vimos, o primeiro passo é escrever quem são a n e a n + 1 .

a n = n 2 2 n

a n + 1 = ( n + 1 ) 2 2 n + 1

Já que temos expoente n no denominador, imaginamos que o Teste da razão seja uma boa escolha.

Passo 2

Agora vamos calcular o limite que o teste pede

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 2 n + 1 × 2 n n 2

= lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 2 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n 1 + 1 n 2 2 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n 2 ( 1 + 1 / n ) 2 2 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ ( 1 + 1 / n ) 2 2 = 1 2 < 1

Como encontramos L = 1 / 2 < 1 , sabemos que essa série converge absolutamente, pelo Teste da razão. Logo, converge

Resposta

A série converge.

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que L < r < 1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n n < r quando n ≥ N .]
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1   n 1 4
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ - 1 n   n 4