Diga se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergentes:

  ∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n 2

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa série parece ser complicada, mas vou facilitar para você!

O problema pede para avaliarmos a convergência dessa série aqui:

∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n 2

E dizer se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Mas calma aí, você lembra o que cada coisa significa?

Uma série será absolutamente convergente quando ∑ a n for convergente! Uma série é condicionalmente convergente quando, sob alguma condição, essa série converge.

Por exemplo, a série harmônica: ela sendo positiva, como a gente conhece, diverge. Mas quando ela se torna alternada (multiplicando - 1 n o termo geral), ela é convergente!

Então, mesmo se série divergir quando olhamos apenas para o módulo do seu termo geral, ainda a parte alternada pode convergir.

Mas, se nos dois casos a série divergir, então a série diverge mesmo.

Certo?

No nosso problema, temos uma série alternada, então o teste perfeito aqui (e que envolve o módulo do termo geral) é o teste da razão para séries alternadas.

Então a ideia aqui é o seguinte:

  • Aplicar o teste da razão para séries alternadas e ver se chegamos a alguma conclusão;
  • Caso dê um resultado inconclusivo, aplicar o teste das séries alternadas (caso dê certo, essa série será condicionalmente convergente)
  • E se falhar de novo? Ah, é porque então essa série diverge!

Beleza? Vamos começar?

Passo 2

A série que precisamos analisar é essa aqui:

∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n 2

E como já comentei com você ali no passo anterior, vamos aplicar o teste da razão para séries alternadas.

Então para aplicar esse teste precisamos:

  • identificar quem é a n na nossa série
  • calcular a n + 1
  • determinar a razão a n + 1 a n
  • calcular o limite dessa razão e comparar o resultado desse limite com as conclusões do teste =)

No nosso caso a n = 1 n ln ⁡ n 2 , então precisamos calcular a n + 1 . Para fazer isso, basta trocar n por ( n + 1 ) no termo geral:

a n + 1 = 1 n + 1 ln ⁡ n + 1 2

Agora vamos calcular a razão a n + 1 / a n :

a n + 1 a n = 1 n + 1 ln ⁡ n + 1 2   . n ln ⁡ n 2 1  

a n + 1 a n = n ln ⁡ n 2 n + 1 ln ⁡ n + 1 2 = 2 n ln ⁡ n 2 n + 1 ln ⁡ ( n + 1 )

a n + 1 a n = n ln ⁡ n n + 1 ln ⁡ ( n + 1 )

Tranquilo até aqui? Agora precisamos calcular o limite dessa razão!

Passo 3

O próximo passo é calcular o limite dessa razão quando n → ∞ , usando todas as técnicas de limites que você aprendeu lá no cálculo 1:

lim   n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n n + 1 ln ⁡ ( n + 1 ) = ∞ ∞

Como chegamos a uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , vamos aplicar a regra de L’Hopital (derivar em cima, derivar embaixo e avaliar o limite novamente):

lim   n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n ' n + 1 ln ⁡ n + 1 ' = lim   n → ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 1 + 1 = ∞ ∞

Xi! Deu ruim!

Calma! Se seguir aparecendo uma indeterminação, segue aplicando a regra de L’Hopital! Até essa indeterminação desaparecer! Bora derivar de novo!

lim   n → ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 ' ln ⁡ n + 1 + 1 ' = lim   n → ∞ ⁡ 1 n 1 n + 1 = lim   n → ∞ ⁡ n + 1 n = ⏝ L ' H lim n → ∞ ⁡ 1 1 = 1  

ρ = 1

Poxa vida, segundo o teste da razão para séries alternadas, esse resultado é inconclusivo. Isso significa que precisamos aplicar outro teste, agora na série normal, para ver se ela converge ou não. Se convergir, aí será convergência condicional, pois apenas a série alternada convergirá, beleza?

Passo 4

Como o resultado for inconclusivo, vamos precisar aplicar outro teste para verificar seu comportamento. A série dada foi essa aqui

∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n 2

Como se trada de uma série alternada, vamos aplicar o teste das séries alternadas.

Esse teste tem duas condições para atestar que uma série converge, saca só:

Seja ∑ n = 1 ∞ - 1 n a n uma série alternada, ela será convergente se:

  1. lim n → ∞ ⁡ a n = 0
  2. a 1 > a 2 > a 3 > …

Vamos ver se essa série satisfaz as duas condições? Bora lá!

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 1 n ln ⁡ n 2 = 1 ∞ = 0

Ok! A primeira condição foi satisfeita! Vamos verificar a segunda?

a 2 = 1 2 ln ⁡ 4

a 3 = 1 3 ln ⁡ 9

a 4 = 1 4 ln ⁡ 16

Podemos notar que o denominador sempre irá aumentar, então

a n > a n + 1

E a segunda condição também é satisfeita!

Sendo assim, a série alternada converge, embora não possamos concluir isso do módulo dessa série.

Isso significa que nossa série converge condicionalmente!

Ufa! Terminamos!

Bora pra próxima?

Resposta

c o n v e r g e   c o n d i c i o n a l m e n t e

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]