Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 683, exercício 8 (adaptado)

Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ e - n n !

Passo 1

Como temos um fatorial e um expoente n , imaginamos que o Teste da razão deva ser uma boa ideia.

O primeiro passo para aplicar esse teste é escrever quem são a n e a n + 1 .

a n = e - n n !

a n + 1 = e - ( n + 1 ) ( n + 1 ) !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos montar o limite que o teste pede e simplificá-lo ao máximo.

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ e - n - 1 ( n + 1 ) ! × 1 e - n n !

= lim n → ∞ ⁡ e - n - 1 ( n + 1 ) n ! × 1 e - n n ! =

= lim n → ∞ ⁡ e - n - 1 ( n + 1 ) e - n =

= lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) e = ∞

Como encontramos lim ⁡ a n + 1 a n = ∞ , sabemos que essa série diverge, pelo Teste da razão.

Resposta

A série diverge.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas