Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Passo 1

Bom, a gente sempre deve fazer o teste da divergência antes de tentar qualquer outro teste (a não ser que a série envolva um fatorial ou seja muito complicado de calcular o limite), porque se o cara for divergente, a gente já mata a questão, ok? Você lembra o que diz o teste da divergência?

Relaxa, nada mais é que calcular o limite do termo geral da série, quando n → ∞ . Se esse limite for diferente de zero, a série diverge, e se ele for diferente de zero, nada podemos concluir. Então bora fazer esse teste:

lim n → ∞ ⁡ n 2 n = 0

Perceba que 2 n cresce muito mais rápido que n , por isso deu zero.

Então vamos fazer outro teste!

Passo 2

Quando você tem potências com o n sendo o expoente, costuma ser muito apropriado a gente fazer o teste da razão, que nada mais é que calcular:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Se esse limite estiver entre zero e um, a série converge. Se o limite for maior que um, a série diverge. Finalmente, se o limite for igual a um, não podemos concluir nada (temos que fazer outro teste)

Então, comecemos identificando os termos necessários:

a n = n 2 n

a n + 1 = n + 1 2 n + 1

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n + 1 n 2 n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n + 1 2 n n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n = lim n → ∞ ⁡ 1 2 + 1 2 n = 1 2

Como 0 ≤ 1 2 < 1 , temos que a série converge.

Resposta

A série converge.

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Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que L < r < 1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n n < r quando n ≥ N .]
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1   n 1 4
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