Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

Questão 3: Para cada uma das séries abaixo verifique se a mesma é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

b )   ∑ n = 1 ∞ - 2 n n n

Passo 1

Nesse caso, podemos pensar no teste da raiz para essa série, já que temos o expoente n. Então:

a n n = - 2 n n n 1 n = - 2 n

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ - 2 n = 0 < 1  

Como teste nos exige, precisamos de que isso aconteça:

lim n → ∞ ⁡ a n n < 1

Como no nosso caso o limite foi 0 que é menor que 1 , podemos concluir que sim! A Série converge!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas será que ela é também absolutamente convergente? Para ver isso, basta lembrar que uma série só é absolutamente convergente se...

∑ n = 1 ∞ a n

... Se essa série converge!

Como no nosso caso a n = - 2 n n n , então, para saber se a série é absolutamente convergente, precisamos analisar...

∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ - 2 n n n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n n n

Como o módulo de - 1 n é 1 e o módulo de 2 n n n é ele mesmo já que esse termo é positivo ( n varia de 1 ao infinito positivo)...

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n n n = ∑ n = 1 ∞ 2 n n n

Passo 3

Para testar essa série, também podemos aplicar o teste da raiz:

| a n | n = a n 1 n = 2 n

lim n → ∞ ⁡ | a n | n = lim n → ∞ ⁡ 2 n = 0 < 1  

Como esse limite é 0 :

0 < 1     ( o   q u e   é   v e r d a d e i r o )

Então a série é também absolutamente convergente!

Resposta

C o n v e r g e   a b s o l u t a m e n t e

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