(Capítulo 11.6 – Exercício 26) Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 0 ∞ 2 n 2 n !

Passo 1

E aíí galera! Vamos lá pra mais uma questão de séries :P

Temos essa série aqui

∑ n = 0 ∞ 2 n 2 n !

E aí queremos determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente

Lembrando que

- Uma série ∑ a n é absolutamente convergente se ∑ | a n | for convergente

- Uma série ∑ a n é condicionalmente convergente se ela for convergente (pelos testes que já conhecemos) mas não for absolutamente convergente 😉

E aí para verificarmos isso, podemos utilizar o teste da razão, que diz que

- Se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1 , a série é absolutamente convergente

- Se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n > 1 ou se esse limite for pro infinito, a série é divergente

Se o limite der 1, não podemos concluir nada hehe

Então vamos lá usar esse teste!!

Passo 2

Vamos usar o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n      

Temos que:

∑ n = 0 ∞ 2 n 2 n !

a n = 2 n 2 n !

E para sabermos a n + 1 basta somarmos um a todos os " n " de a n :

a n + 1 = 2 ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) !

Passo 3

Agora, vamos colocar nossas informações na formulinha do teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) ! 2 n 2 n !

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 n 2 + 2 n + 2 ( n + 1 ) ! . n ! 2 n 2

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 n 2 . 2 2 n . 4 n + 1 . n ! . n ! 2 n 2

Cortando os termos comuns:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 2 n . 4 n + 1

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 4 n . 4 n + 1

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 4 n + 1 n + 1 = ∞

Passo 4

Como o limite resultou no infinito, a série ∑ n = 0 ∞ 2 n 2 n !

é divergente pelo teste da razão.

Resposta

Divergente.

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37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]