Seja ∑ k = 1 ∞ a k uma série de termos positivos tal que

( 2 k 2 + 1 3 k 2 + k ) k

Em relação a convergência da série, é correto afirmar que:

a ) Diverge.

b ) Não se pode dizer nada.

c ) Converge.

Passo 1

Eaew, tudo bem contigo?

Nós temos aqui uma série infinita da forma

∑ k = 1 ∞ a k

em que os elementos das séries são dados pela relação

( 2 k 2 + 1 3 k 2 + k ) k

precisamos verificar se ela diverge ou converge, ou se não podemos dizer nada. Para séries que tem os coeficientes elevados pela variável somada, ou seja, em nosso caso k , é conveniente usar o teste da raiz, que nos diz que

L   =   l i m k → ∞ | a k | k

Se temos que L < 1 , a série converge absolutamente, se L > 1 , a série não converge, se L = 1 , nada se pode concluir. Vamos tentar resolver este limite então! Vem comigo!

Passo 2

Usando o formato de a k podemos escrever nosso limite como

L   =   l i m k → ∞ | ( 2 k 2 + 1 3 k 2 + k ) k | k

como esta é uma série de termos positivos podemos simplesmente ignorar o módulo, temos então

L   =   l i m k → ∞ ( 2 k 2 + 1 3 k 2 + k ) k k

da mesma forma, como temos a k - é s i m a raiz de algo elevado a k , podemos simplificar a raiz, e escrever que

L   =   l i m k → ∞ 2 k 2 + 1 3 k 2 + k

Agora é resolver o limite! Lembra como fazemos limites desse tipo? Saca só!

Passo 3

Temos um limite indo para o infinito de um razão de polinômios, portanto, a coisa mais conveniente a se fazer é dividir o numerador e o denominador pelo termo de maior potência, em nosso caso, k 2 , obtemos então que

L   =   l i m k → ∞ ( 2 k 2 + 1 ) / k 2 ( 3 k 2 + k ) / k 2 = l i m k → ∞ 2 + 1 / k 2 3 + 1 / k

Se aplicarmos então o limite, ou seja, avaliar quando k → ∞ , temos que

L   = 2 + 1 / ∞ 3 + 1 / ∞

nós interpretamos como um número muito grande, se dividir uma constante por um número muito grande, a divisão vai à zero, portanto, o limite acima se torna

L   = 2 + 0 3 + 0 = 2 3

como temos que L = 2 3 < 1 , temos que nossa série é absolutamente convergente! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

A série é absolutamente convergente!

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]