Passo 1

Normalmente, eu te diria para começar fazendo o teste da divergência, mas esse é um daqueles caso em que o limite é mais complicado. Então, vamos direto ao teste que nos interessa, que é aquele que vai nos ajudar: o teste da razão!

Quando você tem potências com o n sendo o expoente, costuma ser muito apropriado a gente fazer o teste da razão, que nada mais é que calcular:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Se esse limite estiver entre zero e um (incluindo o zero), a série converge. Se o limite for maior que um, a série diverge. Finalmente, se o limite for igual a um, não podemos concluir nada (temos que fazer outro teste)

Então, comecemos identificando os termos necessários:

a n = 2 n n n !

a n + 1 = 2 n + 1 n + 1 n + 1 !

Passo 2

Agora, vamos calcular o limite:

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 n + 1 n + 1 ! 2 n n n ! = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 n + 1 n + 1 ! n ! 2 n n = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 ( n + 1 ) n = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 n = 0

Como o nosso limite deu igual a zero, temos que nossa série converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]