Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

Determine quais dentre as séries abaixo convergem e quais divergem:

∑ n = 2 ∞ n 10 1,03 n

Passo 1

Cara, repara que o nosso termo geral tem no expoente de um dos termos, o n . Isso é uma dica para usarmos o teste da raiz.

Ele diz que se a nossa série tem um termo geral a n . Se fizermos

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ a n 1 n = L

E 0 ≤ L < 1 então a série converge, mas se L > 1 , então a série diverge.

Vamos tentar aplicar isso na nossa série!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nossa série é

∑ n = 2 ∞ n 10 1,03 n

Então o termo geral dela é

a n = n 10 1,03 n

Tirando o módulo disso e depois a raiz:

a n 1 n = n 10 1,03 n 1 n = n 10 1,03 n 1 n = n 10 1,03 n n = n 10 n 1,03

Aplicando o limite

lim n → ∞ ⁡ a n 1 n = lim n → ∞ ⁡ n 10 n 1,03 = lim n → ∞ ⁡ n 10 n 1,03

Passo 3

Vamos resolver esse limite que ficou ali aplicando l n e depois uma exponencial. Aí não muda a expressão, só a cara dela

lim n → ∞ ⁡ n 10 n = lim n → ∞ ⁡ e ln ⁡ n 10 n = lim n → ∞ ⁡ e 10 n ln ⁡ n = e lim n → ∞ ⁡ 10 n ln ⁡ n

lim n → ∞ ⁡ 10 n ln ⁡ n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 10 → ∞ ∞ ∴ lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 10 → L ' H → lim n → ∞ ⁡ 1 / n 1 / 10 = 0

lim n → ∞ ⁡ n 10 n = e lim n → ∞ ⁡ 10 n ln ⁡ n = e 0 = 1

lim n → ∞ ⁡ a n 1 n = lim n → ∞ ⁡ n 10 n 1,03 = 1 1,03

Como 1 1,03 < 1 , nossa série converge.

Resposta

Convergente

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas