Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Estude a convergência da série (mostre se é convergente ou divergente):

∑ n = 1 ∞ - 1 n   n ! 1.3 . 5 .   … 2 n + 1

Passo 1

Repara que apareceu um n ! e um - 1 n . Geralmente, o teste da razão funciona para estudarmos a convergência de séries quando nos deparamos com esses termos.

“Esqueci como é essa parada de critério da razão, ai meu Deus”

Relaxa, dá uma olhada no que ele diz:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

s e   0 < L < 1 ,       a   s é r i e   é   c o n v e r g e n t e s e   L > 1 ,       a   s é r i e   é   d i v e r g e n t e s e   L = 1 ,       n a d a   p o d e m o s   c o n c l u i r

Passo 2

Beleza, sabemos agora do que se trata esse teste. Vamos usá-lo!

l i m n → ∞ - 1 n + 1   ( n + 1 ) ! 1.3 . 5 .   … 2 ( n + 1 ) + 1 - 1 n   n ! 1.3 . 5 .   … 2 n + 1 = lim n → ∞ ⁡   ( n + 1 ) ! 1.3 . 5 .   … 2 n + 3   n ! 1.3 . 5 .   … 2 n + 1

= lim n → ∞ ⁡   ( n + 1 ) ! 1.3 . 5 .   … 2 n + 3 1.3 . 5 .   … 2 n + 1 n ! = lim n → ∞ ⁡   n + 1   n ! 1.3 . 5 .   … ( 2 n + 1 ) 2 n + 3 1.3 . 5 .   … 2 n + 1 n !

= lim n → ∞ ⁡   n + 1   2 n + 3 = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 2 + 3 n = 1 2

Passo 3

Como 0 < 1 2 < 1 , a série é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞