Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

Séries de potência

Para quais

x ∈ - π 2 , π 2

A série

∑ n = 1 ∞ tg ⁡ x 3 n

Converge? Calcule o valor da série para x = π / 6 .

Passo 1

Normalmente para fazermos o intervalo de convergência temos que ter

∑ n = 1 ∞ a n x - a n

Mas temos um 3 n n o expoente ali fora que o x está dentro de uma tangente né? Então temos que usar o teste da raoís completo.

Vamos ter

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ tg ⁡ x 3 n n = lim n → ∞ ⁡ tg ⁡ x 3 = tg ⁡ x 3

Assim a nossa série vai convergir se

tg ⁡ x 3 < 1

Isso que dizer que

tg ⁡ x < 1

Temso que analisar essa desigualdades

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos olhar aquela desigualdade

tg ⁡ x < 1

Isso que dizer que

- 1 < tg ⁡ x < 1

Lembrando que

tg ⁡ - π 4 = - 1

E

tg ⁡ π 4 = 1

Temos

tg ⁡ - π 4 < tg ⁡ x < tg ⁡ π 4

Assim

- π 4 < x < π 4

E temos o nosso intervalo, falta olhar nas extremidades.

Passo 3

Começando com

x = - π 4

A nossa série vai ficar

∑ n = 1 ∞ tg ⁡ - π 4 3 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 3 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n

Essa série diverge, isso porque para cada valor de n a mais que eu vou somando o valor vai alternando entre - 1 e 0 não indo para nenhum dos dois

Passo 4

Vamos agora para

x = π 4

A nossa série vai ficar

∑ n = 1 ∞ tg ⁡ π 4 3 n = ∑ n = 1 ∞ 1 3 n = 1 + 1 + 1 + 1 + … = ∞

E essa série diverge, porque estamos somando infinitamente o valor 1

Passo 5

Percebemos então que o intervalo de convergência vai ser

- π 4 , π 4

Temos agora que achar o valor da série para o x que ele pediu no enunciado, que vai ser

∑ n = 1 ∞ tg ⁡ π 6 3 n = ∑ n = 1 ∞ 3 3 3 n

Vamos dar uma arrumada naquele termo geral, deixando um número elevado a n

∑ n = 1 ∞ 3 3 3 n = ∑ n = 1 ∞ 3 3 3 n = ∑ n = 1 ∞ 3 3 27 n = ∑ n = 1 ∞ 3 9 n

Como

3 9 < 1

Essa é uma série geométrica onde a razão é 3 / 9 , a série geométrica converge para 1 1 - r

Assim temos

∑ n = 1 ∞ 3 9 n = 1 1 - 3 9 = 1 9 - 3 9 = 9 9 - 3

Resposta

Converge para

x ∈ - π 4 , π 4

E

∑ n = 1 ∞ tg ⁡ x 3 n

Para x = π / 6 vai ser

∑ n = 1 ∞ tg ⁡ π 6 3 n = 9 9 - 3

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