Para quais valores de x a série ∑ n = 1 ( x - 4 ) n 3 n n 3 é convergente? Encontre também o intervalo e o raio de convergência.

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Precisamos analisar a seguinte série

∑ n = 1 ( x - 4 ) n 3 n n 3

e, determinar sua convergência, intervalo e raio de convergência! Tem algo em minha opinião, esquisita neste enunciado, encontrar um raio e intervalo de convergência significa encontrar um intervalo sobre x sob o qual essa série é convergente. Ou seja, para alguns valores de x ela será convergente, e para outros divergente! Vamos ver se conseguimos determinar estes valores! Esta série tem um termo 3 n quando temos séries com termos desta forma, costuma ser interessante aplicar o teste da razão. Lembra qual teste é esse? É aquele que diz

l i m n → ∞ | a n + 1 a n | = L

em que temos a n como o coeficiente em

∑ n = 1 ∞ a n

Note que o teste pede que examinemos o valor de L , se temos que L < 1 a série é absolutamente convergente, se L > 1 ou L = ∞ , a série é divergente, se o limite for L = 1 , aí não podemos dizer nada e precisamos tentar outra coisa! Se tudo der certo, não vai dar 1 . Bora lá!

Passo 2

Primeiro, para aplicarmos o nosso teste da razão, precisamos escrever o elemento a n , observando nossa série, temos que

a n = ( x - 4 ) n 3 n n 3

podemos então escrever que

a n + 1 = ( x - 4 ) n + 1 3 n + 1 ( n + 1 ) 3

Podemos então, escrever o nosso limite do teste da razão como

l i m n → ∞ | ( x - 4 ) n + 1 / 3 n + 1 ( n + 1 ) 3 ( x - 4 ) n / 3 n n 3 | = L

Precisamos reescrever este limite, de preferência tentando separar a variável x que dirá nosso raio de convergência, da variável n que está sendo avaliada no limite! Eu já te adianto que é possível, vem comigo!

Passo 3

Vamos usar que quando temos uma fração no numerador e outra no denominador, podemos reescrever a fração multiplicando o numerador pelo inverso do denominador, da seguinte forma

( x - 4 ) n + 1 / 3 n + 1 ( n + 1 ) 3 ( x - 4 ) n / 3 n n 3 = ( x - 4 ) n + 1 3 n + 1 ( n + 1 ) 3 3 n n 3 ( x - 4 ) n

Olha algumas vantagens que surgem de cara, se lembrarmos que ( x - 4 ) n + 1 = ( x - 4 ) n ( x - 4 ) 1 , e também que 3 n + 1 = 3 1 3 n , podemos escrever a expressão acima como

( x - 4 ) n + 1 3 n + 1 ( n + 1 ) 3 3 n n 3 ( x - 4 ) n = ( x - 4 ) n ( x - 4 ) 33 n ( n + 1 ) 3 3 n n 3 ( x - 4 ) n = ( x - 4 ) 3 n 3 ( n + 1 ) 3

em que simplifiquei os termos em comum no denominador e numerador, note que agora, o nosso limite pode ser escrito como

l i m n → ∞ | ( x - 4 ) n + 1 / 3 n + 1 ( n + 1 ) 3 ( x - 4 ) n / 3 n n 3 | = l i m n → ∞ | ( x - 4 ) 3 n 3 ( n + 1 ) 3 |

Maravilha! Vamos continuar analisando este sistema! Note que agora, a parte que depende apenas de x , não é afetada pelo limite, isso será conveniente para determinarmos o nosso raio de convergência! No entanto, precisamos primeiro avaliar a parte que depende do limite! Vamos lá!

Passo 4

Podemos escrever o limite do passo anterior como

l i m n → ∞ | ( x - 4 ) 3 n 3 ( n + 1 ) 3 | = | ( x - 4 ) 3 l i m n → ∞ n 3 ( n + 1 ) 3 |

Mas como calcular este limite? A maneira mais fácil aqui é distribuir o produto no denominador, temos que

( n + 1 ) 3 = ( n + 1 ) 2 ( n + 1 )

Usando que

( n + 1 ) 2 = n 2 + 2 n + 1

podemos escrever que

( n + 1 ) 3 = ( n 2 + 2 n + 1 ) ( n + 1 ) = n 3 + 2 n 2 + n + n 2 + 2 n + 1

juntando alguns termos, temos que

( n + 1 ) 3 = n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1

Voltando para o limite, obtemos que

| ( x - 4 ) 3 l i m n → ∞ n 3 ( n + 1 ) 3 | = | ( x - 4 ) 3 l i m n → ∞ n 3 n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 |

Agora este limite ficou um pouco mais fácil! Vamos resolver ele? Saca só!

Passo 5

Quando temos um limite para o infinito de uma razão de polinômios, é conveniente dividirmos o numerador e o denominador pelo termo de maior ordem, em nosso caso n 3 , de forma, que obtemos

| ( x - 4 ) 3 l i m n → ∞ n 3 n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 | = | ( x - 4 ) 3 l i m n → ∞ 1 1 + 3 / n + 3 / n 2 + 1 / n 3 |

Note que agora no denominador temos várias constantes divididos por n em diferentes potências, de qualquer forma, qualquer número dividido por um número muito grande vai a zero, ou seja, quando fazemos o limite, obtemos que

l i m n → ∞ 1 1 + 3 / n + 3 / n 2 + 1 / n 3 = 1 1 + 0 + 0 + 0 = 1

Ou seja, o nosso raio de convergência vai ser obtido analisando a seguinte expressão

| ( x - 4 ) 3 l i m n → ∞ 1 1 + 3 / n + 3 / n 2 + 1 / n 3 | = | ( x - 4 ) 3 | = L

Precisamos achar os valores de x para que L < 1 ! Vamos lá!

Passo 6

Para que L < 1 , precisamos que

| ( x - 4 ) 3 | < 1

Como temos que 3 é simplesmente um número positivo, podemos escrever que

| x - 4 | < 3

A desigualdade acima tem uma função modular. Note que, quando x - 4 < 3 está tudo bem em nossa questão! Mas não é simplesmente isso, como a função é modular, nós também precisamos considerar o intervalo em que x - 4 > - 3 , pois o módulo irá tirar o sinal de menos! Obtemos então que

- 3 < x - 4 < 3

Se somarmos 4 em toda a desigualdade, temos que

- 3 + 4 < x - 4 + 4 < 3 + 4

ou simplesmente

1 < x < 7

Este intervalo obtido é o intervalo para o qual L < 1 , portanto, é o intervalo de convergência de nossa série. No entanto, ainda não podemos dizer se os extremos são convergentes! Precisamos checar isso! Vamos fazer isso antes de qualquer coisa!

Passo 7

Para checar os extremos, vamos substituir os dois extremos em nossa série, primeiro para x = 1 , temos que

∑ n = 1 ( x - 4 ) n 3 n n 3 = ∑ n = 1 ( - 3 ) n 3 n n 3

usando que ( - 3 ) n = ( - 1 ) n 3 n , podemos escrever que

∑ n = 1 ( - 3 ) n 3 n n 3 = ∑ n = 1 ( - 1 ) n 3 n 3 n n 3 = ∑ n = 1 ( - 1 ) n n 3

Esta é uma série alternada! Pelo teste das séries alternadas, temos que verificar se os termos da série são decrescentes e o seguinte limite

l i m n → ∞ 1 n 3 = 0

Como temos uma constante dividia por n 3 , quando n → ∞ , o limite vai sim a zero, portanto a relação acima é verdade! Agora, os termos são decrescentes? Vamos escrever alguns e ver se é verdade, temos que

∑ n = 1 ∞ 1 n 3 = 1 + 1 8 + 1 27 + . . .

Então sim, são decrescentes, então podemos garantir que

∑ n = 1 ( - 3 ) n 3 n n 3 = c o n v e r g e n t e

Ou seja, x = 1 , pertence ao nosso intervalo de convergência! Vamos analisar o outro valor agora!

Passo 8

Para x = 7 , temos que

∑ n = 1 ( x - 4 ) n 3 n n 3 = ∑ n = 1 3 n 3 n n 3 = ∑ n = 1 1 n 3

simplesmente simplificando o termo 3 n no numerador e denominador. A série acima é uma série-p da forma

∑ n = 1 ∞ 1 n p

série desta forma são convergentes se p > 1 , em nosso caso temos que p = 3 > 1 , portanto, com x = 7 , temos a convergência de nossa série! Desta forma, o intervalo de convergência é

I . C .   =   [ 1,7 ]

Para obter o raio de convergência precisamos saber qual é o centro de convergência, ou seja, o valor mediano do intervalo acima. Como o intervalo acima é formado por um número ímpar de termos, temos que o centro é x = 4 , pois é o valor central! E sendo assim, temos 3 termos a esquerda e 3 a direita, ou seja, o raio de convergência é

R . C = 3

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A série é convergente no intervalo I . C   =   [ 1,7 ] , com raio de convergência R . C = 3 .

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]