(Capítulo 11.6 – Exercício 4) Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4

Passo 1

E aíí galera! Vamos lá pra mais uma questão de séries :P

Temos essa série aqui

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4

E aí queremos determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente

Lembrando que

- Uma série ∑ a n é absolutamente convergente se ∑ | a n | for convergente

- Uma série ∑ a n é condicionalmente convergente se ela for convergente (pelos testes que já conhecemos) mas não for absolutamente convergente 😉

Vamos lá

Passo 2

Temos

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4

Como temos o termo - 1 n , isso é uma série alternada, então bora usar o teste da série alternada pra verificar a convergência aqui

Esse teste diz que se uma série tiver o formato

∑ n = 1 ∞ - 1 n ± 1 b n

Para que ela seja convergente, deve cumprir com esses dois requisitos:

1. b n ≥ b n + 1 ;

2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Se ela não cumprir com um deles, ela diverge, fechou?

Passo 3

Olhando para ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4 , fazemos que:

b n = n n 2 + 4

b n + 1 = n + 1 n + 1 2 + 4

Como o denominador de b n + 1 é maior do que o de b n , temos que

b n ≥ b n + 1

Agora, para o segundo requisito, basta calcular o seu limite:

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 4 = lim n → ∞ ⁡ n n 2 ( 1 + 4 n 2 ) = 0

Então, a série

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4

Converge pelo teste das séries alternadas.

Passo 4

Legal, temos que a série converge sem o módulo, mas agora vamos ver com o módulo pra ver se ela converge absolutamente

Nesse caso, vamos aplicar esse teste para o módulo da nossa série ok? Ou seja:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4 = ∑ n = 1 ∞ n n 2 + 4

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma: vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida b n e outra não ( a n ) e então calculamos o seguinte limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou ambas divergem (dependendo do que conhecemos sobre b n )

Passo 5

Vamos escolher um a n para que possamos calcular o teste da comparação no limite.

Vamos fazer o teste da comparação com a série harmônica (que sabemos que diverge)

a n = 1 n

Calculando pelo teste da comparação do limite:

lim n → ∞ ⁡ b n a n

Assim,

lim n → ∞ ⁡ b n a n = lim n → ∞ ⁡ n ( n 2 + 4 ) 1 n  

Ou, organizando um pouquinho para facilitar as continhas:

lim n → ∞ ⁡ b n a n = l i m n → ∞ n n 2 + 4 ⋅ n = l i m n → ∞ n 2 n 2 + 4 = l i m n → ∞ 1 1 + 4 n 2 = 1

Como, 1 > 0 e sabemos que b n diverge, então,

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4

diverge pelo limite Teste de comparação no limite com a série harmônica. Assim, a série é condicionalmente convergente: ela converge sem o módulo e diverge com o módulo

Resposta

Condicionalmente convergente.

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37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]