(Capítulo 11.9 – Exercício 7) Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

f x = x 9 + x 2

Passo 1

Vamos que vamos pra mais uma!!

Temos uma função f ( x ) e aí queremos escrever essa função no formato de série de potências, assim

∑ c n . x - a n

Ou seja, queremos mudar a forma que olhamos pra essa função

E aí, precisamos encontrar o intervalo de convergência dessa série de potências

Lembrando aqui: o intervalo de convergência vai incluir os valores de x em que a série não vai explodir lá pro , sacou?

Passo 2

Temos a função f x

f x = x 9 + x 2

Vamos tentar fazer aparecer um 1 no denominador, porque aí vamos chegar em uma fórmula genérica de uma soma geométrica

Dividindo tudo por 9:

f x = x 9 1 + x 2 9

E aí podemos reescrever assim:

f x = x 9 1 - - x 2 9

Certo, temos algo no estilo

c 1 - d

Ou seja, um valor c dividindo 1 - alguma coisa

Isso parece muito a representação de uma série assim:

a 0 1 - r

Em que a 0 é o primeiro termo da série e r é a razão:

∑ n = 0 ∞ a 0 . r n = a 0 . 1 1 - r ,     r < 1

Passo 3

Então meu caro, se temos a função

f x = x 9 1 - - x 2 9

Então ela pode ser escrita como essa série:

∑ n = 0 ∞ x 9 . - x ² 9 n = x 9 . 1 1 - - x 2 9 ,     - x 2 9 < 1

Passo 4

Beleza! Como a razão da série geométrica é - x 2 9   , temos que ter, pra série convergir:

- x 2 9 < 1

x 2 9 < 1

x 2 < 9

- 3 < x < 3

Ou seja, o intervalo de convergência é - 3 ,   3 .

Resposta

∑ n = 0 ∞ x 9 . - x 2 9 n

( - 3 ,   3 )

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]