1 – Teste a convergência ou divergência das séries, mencione o teste utilizado.

c) ∑ n e - n

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

O problema nos pediu para determinar se a série ∑ n e - n diverge ou converge.

Pra isso, temos que usar algum teste de convergência. Pra escolher qual o melhor teste que podemos utilizar em cada caso, é necessário fazermos uma análise da série em questão...

Tem algum teste em mente? 🤔🤔

Nossa série a n é dada por a n =   n e - n . perceba que há uma potência com n no expoente, nesses casos, a primeira ideia que poderíamos ter, depois do teste da divergência, é o teste da razão, já que com n no expoente podemos fazer algumas simplificações interessantes!

O teste da razão implica no cálculo do limite de a n + 1 a n para n tendendo ao infinito

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Se L for menor que 1 , a serie a n converge, se L for maior que 1 , a série a n diverge e se L = 1 , não podemos afirmar nada.

Preparado? Vamos começar! 😁

Passo 2

Já sabemos como é a n , mas precisamos obter a n + 1 , pra isso substituímos n por n + 1

a n + 1 = n + 1 e - n + 1

Substituindo a n e a n + 1 no limite...

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

lim n → ∞ ⁡ n + 1 e - n + 1 n e - n

A simplificação que podemos fazer é que sabe que a b + c = a b a c ?

Então podemos dizer que e - n + 1 = e - n - 1 = e - n e - 1 , correto?

Fazendo essa substituição no limite, temos que

lim n → ∞ ⁡ n + 1 e - n e - 1 n e - n

Perceba que após essa substituição temos e - n multiplicando o numerador e o denominador, portanto podemos simplificá-lo

lim n → ∞ ⁡ n + 1 e - 1 n

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n e 1

Em n → ∞ , n + 1 n e 1 é positivo, então podemos ignorar o módulo

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n e 1

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Substituindo n por , vamos chegar em uma indeterminação ∞ ∞ . Então podemos aplicar a regra de L’Hopital. Derivando o numerador e o denominador do limite.

lim n → ∞ ⁡ d n + 1 d n d n e 1 d n

Derivando pelo método de derivação polinomial, multiplicando a variável pela sua potência subtraindo 1 do seu expoente, temos

d n + 1 d n = n 1 - 1 + 0 = 1

d n e 1 d n = n 1 - 1 e = e

Dessa forma, temos

lim n → ∞ ⁡ 1 e

Como o limite de uma constante é igual a própria constante, então

lim n → ∞ ⁡ 1 e = 1 e = L

Se L = 1 e e e ≅ 2,718 , então, L < 1

Como vimos no passo 1, se L for menor que 1 , a série a n converge!

Logo, ∑ n e - n converge!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Converge pelo teste da razão.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]