(Capítulo 11.8 – Exercício 18) Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ n 4 n x + 1 n

Passo 1

Caaalma, não se assusta com essa série não hahahaha vamos resolver essa questão rapidinho

Temos a série

∑ n = 1 ∞ n 4 n x + 1 n

E aí, precisamos encontrar o raio de convergência dela, e o intervalo de convergência também.

Só pra lembrar: o intervalo de convergência vai incluir os valores de x em que a série não vai explodir lá pro , sacou? Já o raio de convergência é basicamente a distância do centro da série até um extremo do intervalo de convergência

Agora sim, vamos lá!

Passo 2

Para encontrarmos o raio de convergência, vamos aplicar o queridíssimo Teste da Razão, que diz que dada uma série de potência assim:

∑ c n . x - a n

Vamos calcular esse limite, obtendo o resultado L

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L

E aí o nosso raio de convergência R vai ser

R = 1 L

Fechou?

Passo 3

Sabendo que nossa série de potências é

∑ n = 1 ∞ n 4 n x + 1 n

temos que o termo que gera a potência é o ( x + 1 ) n , enquanto o c n é o termo que multiplica ele:

c n = n 4 n

Então vamos calcular esse limite:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n

Temos c n + 1 = n + 1 4 n + 1 = n + 1 4 n . 4 , então

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 4 n . 4 n 4 n

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 4 n . 4 . 4 n n

Cortando os termos comuns em cima e embaixo:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 4 n

Como temos uma indeterminação do tipo ∞ ∞ , vamos usar L’Hospital para resolvermos esse limite

Passo 4

Derivando em cima e embaixo:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ 1 4

Como o limite da constante é a própria constante, temos

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = 1 4

Então o raio de convergência R vale

R = 1 L = 1 1 4 = 4

Agora só falta o intervalo de convergência :P

Passo 5

Uma série de potências tem o formato genérico

∑ n ∞ c n . x - a n

Onde a é o valor em que a série está centrada

No nosso caso, temos

∑ n = 1 ∞ n 4 n x + 1 n

Ou seja, x - a n = ( x + 1 ) n

Então, a = - 1 . Logo, a nossa série está centrada em -1

Sabendo que o raio de convergência é R = 4 , então o intervalo deve ser - 1 - 4 ,   - 1 + 4

Então sabemos que o intervalo é - 5,3 , porém devemos testar a convergência nas extremidades para definir onde o intervalo é aberto e onde é fechado.

Passo 6

Dado o intervalo - 5,3 , para x = - 5 , temos que

∑ n = 1 ∞ n 4 n - 5 + 1 n

∑ n = 1 ∞ n 4 n - 4 n

Como a . b n = a n . b n , podemos colocar o 4 n dentro do parênteses:

∑ n = 1 ∞ n - 4 4 n

∑ n = 1 ∞ n - 1 n

Como temos o elemento - 1 n , essa série é alternada, pois vai ficar saltando entre valores positivos e negativos

Então, podemos fazer o Teste da Série Alternada para verificar a convergência dessa série. Temos:

b n = n

b n + 1 = n + 1

Temos que b n + 1 > b n , Então, o primeiro quesito do teste da série alternada para convergência já não foi cumprido

Portanto, essa série diverge para x = - 5

Passo 7

Para x = 3 , temos que

∑ n = 1 ∞ n 4 n 3 + 1 n

∑ n = 1 ∞ n 4 n 4 n

∑ n = 1 ∞ n

Que é uma série divergente, explode para o

Logo, a série diverge para x = - 5 e para x = 3 , o que nos dá esse intervalo de convergência

( - 5,3 )

E acabaaaamos

Resposta

R = 4   e   I = ( - 5,3 )

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]