Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ n + 1 2 n n n

Passo 1

Aqui precisamos de um pouco de atenção. Veja que podemos reescrever o termo geral dessa série assim:

n + 1 2 n n n = n + 1 2 n n n = n + 1 2 n n

Parece uma boa, então, usar o Teste da raiz. Temos

| a n | n = | a n | 1 / n = n + 1 2 n

Passo 2

Agora vamos tomar o limite dessa expressão

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n =

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n

Maravilha, agora colocando n 2 em evidência no numerador, vamos obter que:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n = lim n → ∞ ⁡ n 2 1 + 1 / n 2 n

= lim n → ∞ ⁡ n 1 + 1 n 2

Portanto:

lim n → ∞ ⁡ n 1 + 1 n 2 = ∞ 1 + 1 ∞ 2

lim n → ∞ ⁡ n 1 + 1 n 2 = ∞

Como encontramos lim ⁡ a n n = ∞ , sabemos que essa série diverge, pelo Teste da raiz.

Resposta

A série diverge.

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