Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ 11 n n ! 3 3 n !

Passo 1

Como temos um monte de fatoriais vamos usar o teste da razão

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 11 n + 1 n + 1 ! 3 3 n + 1 ! ∙ 3 n ! 11 n n ! 3 = lim n → ∞ ⁡ 11 n + 1 n + 1 n ! 3 3 n + 3 ! ∙ 3 n ! 11 n n ! 3 =

lim n → ∞ ⁡ 11 n + 1 n + 1 3 n ! 3 3 n + 3 3 n + 2 3 n + 1 3 n ! ∙ 3 n ! 11 n n ! 3 = lim n → ∞ ⁡ 11 n + 1 3 3 n + 3 3 n + 2 3 n + 1 =

lim n → ∞ ⁡ 11 n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 9 n 2 + 15 n + 6 3 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 11 n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 27 n 3 + 45 n 2 + 18 n + 9 n 2 + 15 n + 6 =

lim n → ∞ ⁡ 11 n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 27 n 3 + 54 n 2 + 33 n + 6

Temos dois polinômios, vamos colocar o maior grau de n em evidência

lim n → ∞ ⁡ 11 n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 27 n 3 + 54 n 2 + 33 n + 6 = lim n → ∞ ⁡ 11 n 3 1 + 3 n + 3 n 2 + 1 n 3 n 3 27 + 54 n + 33 n 2 + 6 n 3 =

lim n → ∞ ⁡ 11 1 + 3 n + 3 n 2 + 1 n 3 27 + 54 n + 33 n 2 + 6 n 3 = 11 1 + 0 + 0 + 0 27 + 0 + 0 + 0 = 11 27

Como esse limite é menor que 1 , pelo teste da razão essa parada converge absolutamente. Logo, converge!

Resposta

Converge

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