Um arame de comprimento L deve ser cortado em 2 pedaços, um para formar um quadrado e outro um triângulo equilátero. Como se deve cortar o arame para que a soma das áreas cercadas pelos 2 pedaços seja:

a ) máxima?

b )   mínima?

Mostre que no caso b ) o lado do quadrado é 2 / 3   da altura do triângulo.

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bem com vocês?

Nesse exercício temos mais um probleminha de otimização.

Basicamente, temos um comprimento fixo de tamanho L e precisamos dividi-lo pra formar um quadrado e um triângulo equilátero.

Essa informação nos diz que a soma dos perímetros do quadrado e do triângulo precisa ser igual a L .

O objetivo do enunciado é calcular como se deve cortar o arame para que a soma das áreas do quadrado e do triângulo seja máxima ou mínima.

Bom, vamos dar uma revisada na expressão do perímetro e da área do quadrado:

2 p = 4 q

onde q é o lado do quadrado.

A = q 2

Já para o triângulo equilátero, o seu perímetro vale:

2 p = 3 l

onde l é o lado do triângulo equilátero. Já para calcular a área do triângulo equilátero, devemos lembrar que como seus ângulos internos valem todos 60 ° , sua altura é dada por:

l ⋅ s e n   60 ° = l 3 2

Assim, a área do triângulo equilátero vale:

A = 3 4 l 2

Massa! Sabendo de tudo isso podemos buscar uma relação entre q e l através do comprimento do arame. Depois, substituímos na expressão da soma das áreas e derivamos e igualamos a zero para encontrar os pontos críticos.

Vamo nessa!

Passo 2

Então gente, como a soma dos perímetros do quadrado e do triângulo precisa ser igual a L , temos:

3 l + 4 q = L

Daí:

l = L - 4 q 3

Substituindo em S , que representa a soma das áreas, temos:

S = q 2 + 3 l 2 4

= q 2 + 3 4 L - 4 q 2 3 2

∴ S = q 2 + 3 36 ⋅ ( L 2 - 8 q + 16 q 2 )

Perfeito! Temos uma relação envolvendo S e q . Daí, é só derivar e igualar a zero.

Passo 3

Fazendo:

d S d q = 0

Vem que:

d S d q = q 2 ' + 3 36 ⋅ L 2 - 8 q L + 16 q 2 '

= 2 q + 3 36 - 8 L + 32 q = 0

Logo:

q 2 + 32 3 36 = 3 36 8 L

Logo:

q = 3 36 8 ⋅ 9 L 18 + 8 3

q = 3 L 9 + 4 3

Esse é um ponto crítico da função, porém não sabemos se é de máximo ou de mínimo.

Para resolver esse problema podemos calcular a segunda derivada e verificar o valor que ela assume no ponto de interesse.

Temos:

d 2 S d q 2 = 2 q + 3 36 - 8 L + 32 q '

= 2 + 32 3 36 > 0

Como a segunda derivada é maior que 0 para qualquer q , inclusive para o que calculamos, temos que o ponto dado é mínimo.

Passo 4

Nesse caso, temos que:

l = L - 4 q 3

E, a altura do triângulo equilátero vale:

h = l 3 2 = 3 2 L - 4 q 3

Substituindo o valor de q que encontramos, temos:

h = 3 6 ⋅ L - 4 3 L 9 + 4 3

3 L 6 ⋅ 9 + 4 3 - 4 3 9 + 4 3

= 3 L 6 ⋅ 9 9 + 4 3

Logo:

h = 3 2 ⋅ 3 L 9 + 4 3

Mas:

q = 3 L 9 + 4 3

Portanto:

h = 3 2 q

∴ q = 2 h 3

Que também queríamos provar! 😊

Passo 5

Por fim, precisamos encontrar como dividir o corte para ter a área máxima.

Mas, vimos que otimizando através da derivada tivemos apenas um ponto crítico. Isso significa que o nosso máximo global se encontra nas extremidades do intervalo.

Ou seja, ou quando pegamos todo o comprimento L e transformamos em um quadrado, ou quando pegamos todo o comprimento L e transformamos em um triângulo equilátero.

Vamos testar qual desses dois casos nos dá a maior área.

Se:

4 q = L

∴ q = L 4

Portanto:

A = L 2 16

Já no caso de todo o arame virar triângulo:

3 l = L

l = L 3

∴ A = 3 4 ⋅ L 2 9  

= 3 36 L 2

Resultado que é menor do que L 2 / 16 .

Logo, para obtermos a área máxima, transformamos todo o arame em um quadrado.

Ufaaa! É isso gente!

Terminamos 😊

Resposta

a ) transformamos todo o arame em um quadrado.

b ) o lado do quadrado vale:

3 L 9 + 4 3

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